LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ETAP IV
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH I KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 2

Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie niektóre z otrzymanych znów dzielimy na 5 części itd. Powtarzając to postępowanie kilka razy otrzymujemy pewną liczbę kartek. Czy ta liczba może być równa 2000, a czy może być równa 1999 lub 2001?

Rozwiązanie

Jeśli w pewnym momencie mamy k kartek i z tego podrzemy na pięć części d kartek, to otrzymamy (k - d) + 5 . d czyli k + 4 . d kartek.

 Oznacza to, że 

ZA KAŻDYM RAZEM LICZBA KARTEK POWIĘKSZA SIĘ O WIELOKROTNOŚĆ 4 KARTEK.

Ponieważ na początku jest 5 kartek, więc liczba kartek zawsze będzie postaci 5 + 4 . n, gdzie n może być dowolną liczba naturalną, bo jeśli będziemy n razy darli tylko jedną kartkę to otrzymamy 5 + 4 . 1 + 4 . 1 + ... + 4 . 1 = 5 + 4 . (1 + 1 + ... + 1) = 5 + 4 . n kartek.
Zatem za każdym razem liczba kartek jest taka, że jeśli odejmiemy od niej 5, to otrzymamy liczbę podzielną przez 4.

Ponadto jeśli jakaś liczba, po odjęciu 5, dzieli się przez 4, to możemy ją otrzymać na pewnym etapie.
Ponieważ ani 1999, ani 2000 po odjęciu 5 nie dzieli się przez 4, to nigdy takich liczb kartek nie otrzymamy.

Natomiast 2001 po odjęciu 5 dzieli się przez 4,

2001 = 5 + 4 . 499

więc jeśli za każdym razem będziemy darli na 5 części jedną kartkę powtarzając tę czynność 499 razy, to otrzymamy 2001 kartek.  

Odpowiedź

Spośród liczb 1999, 2000, 2001 można otrzymać tylko jedną z nich. Jest to liczba 2001.