LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001

ZADANIA KONKURSOWE ETAPU IV
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 3

W trapezie ABCD, w którym boki AB i CD są podstawami. Suma kątów przy wierzchołkach A i B jest równa 90o. Niech |MN|=d, gdzie M i N są odpowiednio środkami podstaw AB i CD. Wyznaczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. dodatkowo:

S - środek przekątnej AC
T - środek przekątnej BD
F - punkt przecięcia się przedłużeń ramion trapezu.

Pokażę, że czworokąt MTNS jest prostokątem.
Ponieważ kąty przy wierzchołkach A i B dają w sumie 90°, więc kąt przy wierzchołku F ma 90°, bo suma kątów w trójkącie (ABF) równa się 180°.
Oznacza to, że ramiona trapezu są prostopadłe.
Ponieważ N i T są środkami odcinków DC i DB, więc z tw. Talesa NT // BC.
Ponieważ S i N są środkami odcinków CD i CA, więc z tw. Talesa NS // AD.
Ponieważ proste BC i AD są prostopadłe, więc także odcinki do nich równoległe:
NT i NS - są prostopadłe.
Ponieważ M i S są środkami odcinków AB i AC, więc z tw. Talesa MS // BC.
Ponieważ M i T są środkami odcinków AB i BD, więc z tw. Talesa MT // AD.
Ponieważ proste BC i AD są prostopadłe, więc także odcinki do nich równoległe:
MS i MT - są prostopadłe.
Ponadto
NT // BC i MS//BC, więc NT //MS
NS//AC i MT // AD, więc NS //MT.
Zatem czworokąt MTNS jest równoległobokiem z kątami prostymi.
Z tego wynika, że MTNS jest prostokątem.

W prostokącie przekątne są tej samej długości,
więc odcinki MN i ST są tej samej długości.

Odpowiedź

Długość odcinka łączącego środki przekątnych jest też równa d.