LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001

Zadania konkursowe w etapie IV dla uczniów klas II gimnazjum
Zadanie 1
Obliczyć:



Rozwiązanie Mariusza Banacha
Zadanie 2
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie x2 + 2001 = y2.

Rozwiązanie Pawła Kocyka
Zadanie 3
W trapezie ABCD, w którym boki AB i CD są podstawami suma kątów przy wierzchołkach A i B jest równa 90o. Niech |MN|=d, gdzie M i N są odpowiednio środkami podstaw AB i CD. Wyznaczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.

Rozwiązanie Łukasza Glińskiego
Zadanie 4
Wysokość trapezu jest równa 4 cm, a jego przekątne są wzajemnie prostopadłe. Wyznaczyć pole trapezu, jeżeli jedna z przekątnych ma długość 5 cm.

Zadanie 5
W kwadracie ABCD o boku długości 5 cm obrano na bokach AB i BC odpowiednio punkty E i F tak, że |EB|=|FC|=1 cm. Niech G będzie punktem przecięcia odcinków AF i DE. Wyznaczyć kąt EGF.

Rozwiązanie Agaty Kapicy
Zadanie 6
W trójkącie poprowadzono środkową AM i dwusieczną BN. Wyznaczyć pole trójkąta ABC, jeśli środkowa i dwusieczne są wzajemnie prostopadłe oraz |AM|=a i |BN|=b.

Rozwiązanie Karoliny Kapicy
Zadanie 7
W wycinek kołowy oparty na kącie środkowym o mierze 60o wpisano koło, którego pole jest równe 9. Wyznaczyć pole wycinka kołowego.

Rozwiązanie Joasi Klimek
Zadanie 8
W pewnym szpitalu średnia wieku lekarzy i chorych wynosiła 40 lat, przy czym średnia wieku lekarzy wynosiła 35 lat, a średnia wieku chorych 50 lat. Rozstrzygnij, czy w tym szpitalu było więcej lekarzy czy chorych i ile razy więcej.

Rozwiązanie Pawła Kocyka
Zadanie 9
Na tablicy wypisano liczby 1, 2, 3, ... , 2001. Dwóch uczniów bierze udział w następującej grze: kolejno na przemian każdy z nich ściera po jednej liczbie, czynią to tak długo aż na tablicy zostaną dwie liczby. Jeśli suma tych liczb jest podzielna przez 3, to wygrywa zaczynający, w przeciwnym przypadku wygrywa drugi zawodnik. Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną i jak powinien on grać?

Zadanie 10
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 14. jeśli do tej liczby dodamy 46, to otrzymamy liczbę, w której iloczyn cyfr wynosi 6. Wyznacz wszystkie takie liczby.

Rozwiązanie Pawła Kocyka
Zadanie 11
Oblicz wartość wyrażenia a3+b3+c3, jeśli a+b+c=0 i abc=1.

Zadanie 12
Czy istnieje 10 kolejnych liczb naturalnych takich, by suma cyfr w pierwszej z nich była równa 2000, suma cyfr drugiej liczby była równa 2001, zaś w trzeciej suma cyfr wynosiła 2002 itd., tzn. suma cyfr dziesiątej liczby była równa 2009?

Rozwiązanie Kamila Maksymiaka
Zadanie 13
Do zapisu dwóch czterocyfrowych liczb a i b  użyto tych samych cyfr.  Czy istnieją liczby a i b  o powyższej własności takie, że suma cyfr liczby a jest równa sumie cyfr liczby a+b?

Rozwiązanie Krzysztofa Maliszewskiego
Zadanie 14
W pojemniku znajdują się bakterie i wirusy. Łączna ich liczba jest równa 2000 sztuk. Prowadzą one swoistą "wojnę". Na początku każda bakteria niszczy po trzy wirusy. W drugim etapie każdy pozostały przy życiu wirus niszczy po dwie bakterie. Potem ponownie każda niezniczczona bakteria niszczy po trzy wirusy itd. Wymiana ciosów trwa tak długo aż liczba wirusów i bakteri w pojemniku są równe. Wtedy zawierają one "pokój". Ile wirusów i bakterii zostanie na końcu?

Rozwiązanie Rafała Mikulskiego
Zadanie 15
W kwadracie ABCD o boku długości 1 punkty K, L , M są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD. Wyznaczyć pole zakreskowanej figury.
Zadanie 16
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n-cyfrowej a istnieje liczba m-cyfrowa b, gdzie m ł n taka, że suma cyfr  iloczynu ab równa się 9m.

Rozwiązanie Agnieszki Osmoły
Zadanie 17
Wyznaczyć wartość wyrażenia (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z).

Rozwiązanie Joasi Płachcińskiej