Zadanie 1
Oblicz:
- $\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}},$
- $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}+ \sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$
Zadanie 2
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie $x^2 + 2001 = y^2.$
Zadanie 3
W trapezie $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są podstawami,
suma kątów przy wierzchołkach $A\text{ i }B$ jest równa $90^{\circ}.$
Niech $|MN|=d$, gdzie $M \text{ i }N$ są odpowiednio środkami podstaw $AB$ i $CD.$
Wyznaczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.
Zadanie 4
Wysokość trapezu jest równa 4 cm, a jego przekątne są wzajemnie prostopadłe.
Wyznaczyć pole trapezu, jeżeli jedna z przekątnych ma długość 5 cm.
Zadanie 5
W kwadracie $ABCD$ o boku długości 5 cm obrano na bokach $AB \text{ i } BC$ odpowiednio punkty $E \text{ i } F$ tak,
że $|EB|=|FC|=1\text{ cm}.$ Niech $G$ będzie punktem przecięcia odcinków $AF \text{ i } DE.$ Wyznaczyć kąt $EGF.$
Zadanie 6
W trójkącie poprowadzono środkową $AM$ i dwusieczną $BN.$
Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$, jeśli środkowa i dwusieczne są wzajemnie prostopadłe oraz $|AM|=a \text{ i } |BN|=b.$
Zadanie 7
W wycinek kołowy oparty na kącie środkowym o mierze $60^{\circ}$ wpisano koło,
którego pole jest równe 9. Wyznaczyć pole wycinka kołowego.
Zadanie 8
W pewnym szpitalu średnia wieku lekarzy i chorych wynosiła 40 lat,
przy czym średnia wieku lekarzy wynosiła 35 lat,
a średnia wieku chorych 50 lat.
Rozstrzygnij, czy w tym szpitalu było więcej lekarzy czy chorych i ile razy więcej.
Zadanie 9
Na tablicy wypisano liczby $1, 2, 3, ... , 2001.$
Dwóch uczniów bierze udział w następującej grze: kolejno na przemian każdy z nich ściera po jednej liczbie,
czynią to tak długo aż na tablicy zostaną dwie liczby.
Jeśli suma tych liczb jest podzielna przez 3,
to wygrywa zaczynający, w przeciwnym przypadku wygrywa drugi zawodnik.
Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną i jak powinien on grać?
Zadanie 10
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 14.
Jeśli do tej liczby dodamy 46, to otrzymamy liczbę,
w której iloczyn cyfr wynosi 6. Wyznacz wszystkie takie liczby.
Zadanie 11
Oblicz wartość wyrażenia $a^3+b^3+c^3$, jeśli $a+b+c=0 \text{ i } abc=1.$
Zadanie 12
Czy istnieje 10 kolejnych liczb naturalnych takich,
by suma cyfr w pierwszej z nich była równa 2000,
suma cyfr drugiej liczby była równa 2001,
zaś w trzeciej suma cyfr wynosiła 2002 itd.,
tzn. suma cyfr dziesiątej liczby była równa 2009?
Zadanie 13
Do zapisu dwóch czterocyfrowych liczb $a$ i $b$ użyto tych samych cyfr.
Czy istnieją liczby $a$ i $b$ o powyższej własności takie,
że suma cyfr liczby $a$ jest równa sumie cyfr liczby $a+b?$
Zadanie 14
W pojemniku znajdują się bakterie i wirusy.
Łączna ich liczba jest równa 2000 sztuk.
Prowadzą one swoistą "wojnę".
Na początku każda bakteria niszczy po trzy wirusy.
W drugim etapie każdy pozostały przy życiu wirus niszczy po dwie bakterie.
Potem ponownie każda niezniczczona bakteria niszczy po trzy wirusy itd.
Wymiana ciosów trwa tak długo aż liczba wirusów i bakteri w pojemniku są równe.
Wtedy zawierają one "pokój". Ile wirusów i bakterii zostanie na końcu?
Zadanie 15
W kwadracie $ABCD$ o boku długości 1
punkty $K$, $L$ , $M$są odpowiednio środkami boków $AB$, $BC$, $CD.$
Wyznaczyć pole zakreskowanej figury.
punkty $K$, $L$ , $M$są odpowiednio środkami boków $AB$, $BC$, $CD.$
Wyznaczyć pole zakreskowanej figury.
Zadanie 16
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n\text{-cyfrowej } a$ istnieje liczba $m\text{-cyfrowa } b$ gdzie $m \le n$ taka,
i taka, że suma cyfr iloczynu $ab$ równa się $9m.$
Zadanie 17
Wyznaczyć wartość wyrażenia $(x-a)\cdot (x-b)\cdot (x-c)\cdot \text{...}\cdot (x-z).$