LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001

ZADANIA KONKURSOWE ETAPU IV
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie16

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n-cyfrowej a istnieje liczba m-cyfrowa b, gdzie m ł n taka, że suma cyfr  iloczynu ab równa się 9m.

Rozwiązanie

Pokażę, że jeśli a jest liczbą n-cyfrowa, to liczba b zapisana za pomocą n dziewiątek (wtedy m = n) spełnia warunek zadania. Doszłam do tego metodą prób i błędów, obserwując przykłady dla n=1, n=2 itd. Przedstawię kilka z nich w tabelkach.

Przykłady
(Litera s oznacza sumę cyfr liczby a×b.)

n = 1m = 1s = 9×m
aba×bs
1999
29189
39279
49369
59459
69549
79639
89729
99819
n = 2m = 2s = 9×m
aba×bs
109999018
1199108918
1299118818
1399128718
1499138618
............
9799960318
9899970218
9999980118
n = 3m = 3s = 9×m
aba×bs
100999999027
10199910089927
10299910189827
10399910199727
10499910299627
............
99799999600327
99899999700227
99999999800127


A teraz zabiorę się za uzasadnienie dlaczego tak sie dzieje.

Niech liczba a jest zapisana za pomocą n cyfr a = a1a2...an,
i liczba b jest zapisana za pomocą n dziewiątek b = 99...9.
Wtedy b = 10n - 1.
(Na przykład  9 = 101 - 1, 99 = 102 - 1, 999 = 103 - 1 itd.)

Iloczyn a×b = a×(10n - 1) = a×10n - a
Mnożenie liczby a przez 10n wydłuża jesk zapis o n zer, więc:

a×10n - a = a1a2...an00...0 - a1a2...an

Jeśli działanie to zapiszę w postaci pisemnego odejmowania, to cyfry odejmowanej liczby a będą dokładnie pod zerami. Wtedy ostatnia cyfra wyniku będzie równa [10 - an] bo pożyczamy dziesiątkę z przedostatniej pozycji górnej liczby, ale na przedostatniej pozycji też trzeba było pożyczyć dziesiątkę, więc z pożyczonej dziesiątki na przedostatniej pozycji mamy już tylko 9 więc przedostatnia cyfra wyniku jest równa  [9 - an-1], itd.

Jeśli an ą 0, to wynik odejmowania będzie następujący:


  a1 a2 ... an-1 an 0 0 ... 0 0
  - a1 a2 ... an-1 an
wynik a1 a2 ... an-1 an - 1 9 - a1 9 - a2 ... 9 - an-1 10 - an


Jeśli teraz dodamy cyfry wyniku, to widać, że a1, a2,...an się zredukują i zostanie 9 + 9+..+ 9 + 10 -1, gdzie jest n-1 dziewiątek i 10 -1 czyli też 9, razem n dziewiatek czyli suma cyfr wyniku jest równa 9×n.

Jeśli an = 0 i an-1 ą 0, to rozumując podobnie jak wyżej dostaniemy wynik odejmowania, także o sumie cyfr równej 9×n:


  a1 a2 ... an-2 an-1 0 0 ... 0 0 0
  - a1 a2 ... an-2 an-1 0
wynik a1 a2 ... an-2 an-1 - 1 9 - a1 9 - a2 ... 9 - an-2 10 - an-1 0

I tak dalej...

Gdy tylko a1ą 0, to wynik wygląda tak:

  a1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0
  - a1 0 ... 0 0 0
wynik a1 - 1 9 ... 9 9 10 - a1 0 ... 0 0 0

Ponieważ przynajmniej a1ą 0, więc za każdym razem dostaniemy sumę cyfr 9×n czyli 9×m bo m = n.

Agnieszka Osmoła