LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 7

Iloczyn dwóch liczb jest równy 180, a ich NWD wynosi 3. Co to za liczby ? Czy istnieje tylko jedna para takich liczb?

Rozwiązanie

x, y- szukane liczby

NWD(x, y)=3  więc x="3a" i y="3b gdzie a, b są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, tzn. takimi, że NWD(a,b)=1 (bo inaczej NWD(x,y) byłoby większe niż 3).

xy="180 3a*3b="180 9ab="180 ab="20 Liczbę 20 należy przedstawić jako iloczyn liczb względnie pierwszych:

  1. 1×20 = 20, stąd a="1," b="20," x="3," y="60."
  2. 4×5 = 20, stąd a="4." b="5," x="12," y="15. Innych możliwości nie ma.

    Odpowiedź

    Szukane liczby to 3 i 60 lub 12 i 15.