LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 8
Ile dzielników mają liczby:
a) 2000
b) 54
c) 64
d) 23.32.54
e) 165+86+215

ROZWIĄZANIE

Aby określić ilość dzielników danej liczby wyrażonej za pomocą iloczynu potęg rożnych liczb pierwszych należy do wykładników tych potęg dodać 1 i tak powiększone wykładniki pomnożyć przez siebie.
ad a)
Aby wyrazić liczbę 2000 w postaci potęg należy dokonać rozkładu tej liczby na czynniki pierwsze:

2000 2

Z rozkładu liczby 2000 na czynniki pierwsze wynika, że liczbę tę może przedstawić w następujący sposób:

2000 = 24 × 53

Korzystając z twierdzenia podanego powyżej, obliczamy ilość dzielników liczby 2000:

(4 + 1) × (3 + 1) = 20



  Z OBLICZEŃ WYNIKA, ŻE LICZBA 2000 MA 2O DZIELNIKÓW
1000 2
500 2
250 2
125 5
25 5
5 5
1 -
ad b)
Liczba dzielników liczby 54 jest równa (4+1) czyli 5.
ad c)
64 = (2 × 3)4 = 24 × 34, z czego wynika, że liczba dzielników liczby
64 wynosi (4+1) × (4 + 1) = 25
ad d)
Liczba dzielników liczby 23 × 32 × 54 jest równa (3 + 1) × (2+1) × (4 + 1) = 4 × 3 × 5 = 60
ad e)
165 + 86 + 215  = (24)5 + (23)6 + 215  = 24×5 + 23×6 + 215 = =220 + 218 + 215  = 215 × (25 + 23 + 1)  =  215 × (32 + 8 + 1) = 
= 215 × 411
Wynika stąd, że liczba dzielników liczby 165 + 86 + 215 jest równa (15 + 1) × (1 + 1) = 32

Ewa Kocyk