LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 13

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie

Mam pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n:

6 | n3 - n, tzn. 2×3 | n3 - n

Skorzystam z twierdzenia arytmetyki, które mówi, że:

Jeśli liczby naturalne a i b mają największy wspólny dzielnik równy 1, to dowolna liczba naturalna n jest podzielna przez a×b wtedy i tylko wtedy gdy liczba n jest podzielna przez a i jest podzielna przez b.

Ponieważ 6 = 2×3 i NWD(2,3)=1, więc starczy pokazać, że

2 | n3 - n    i   3 | n3 - n.

Dowód, że 2 | n3 - n

  1. Jeśli n = 2k gdzie k jest pewną liczba naturalną, to

    n3 - n = (2k)3 - 2k = 8k3 - 2k = 2(4k3 - k)

    więc 2 | n3 - n

  2. Jeśli n = 2k+1 gdzie k jest pewną liczba naturalną, to

    n3 - n = (2k+1)3 - (2k+1) = (2k+1)((2k+1)2 - 1) = 
    = (2k+1)(4k2+4k+1-1) = 2(2k+1)(2k2+2k),

    więc także 2 | n3 - n

Dowód, że 3 | n3 - n

  1. Jeśli n = 3k gdzie k jest pewną liczba naturalną, to

    n3 - n = (3k)3 - 3k = 27k3 - 3k = 3(9k3 - k)

    więc 3 | n3 - n

  2. Jeśli n = 3k+1 gdzie k jest pewną liczba naturalną, to

    n3 - n = (3k+1)3 - (3k+1) = (3k+1)((3k+1)2 - 1) = 
    = (3k+1)(9k2+6k+1-1) = 3(3k+1)(3k2+2k),

    więc także 3 | n3 - n

  3. Jeśli n = 3k+2 gdzie k jest pewną liczba naturalną, to

    n3 - n = (3k+2)3 - (3k+2) = (3k+2)((3k+2)2 - 1) = 
    = (3k+2)(9k2+12k+4-1) = 3(3k+2)(3k2+4k+1),

    więc też 3 | n3 - n

Kamil Maksymiak