Zadanie 1
Długości boków trójkąta są równe 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta oraz środkową poprowadzoną do boku o długości 16 cm.
Zadanie 2
Liczbę naturalną nazwiemy dobrą jeśli w jej zapisie dziesiętnym żadna cyfra się nie powtarza
oraz iloczyn jej cyfr jest równy 360. Podaj dwie takie liczby oraz wyznacz największą liczbę o tej własności.
Zadanie 3
W kwadracie o boku długości 10 cm (patrz rysunek) można zauważyć okrąg wpisany
w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i środkach w wierzchołkach tego kwadratu.
Oblicz pole i obwód zakreskowanej figury.
Zadanie 4
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right)$
a następnie oblicz jego wartość dla $a = 0,75 \text{ i } b = \frac{4}{3}.$
$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right)$
a następnie oblicz jego wartość dla $a = 0,75 \text{ i } b = \frac{4}{3}.$
Zadanie 5
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.
Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg.
Oblicz długości odcinków, na które okrąg ten podzielił przeciwprostokątną.
Zadanie 6
Niech $p$ będzie liczbą pierwszą większą od 5. Uzasadnij, że liczba $p^4-1$ jest podzielna przez 240.
Zadanie 7
Oblicz:
- $\frac{\sqrt{5-2\cdot \sqrt{6}}}{\left(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2}\right)}.$
- $\left(4+\sqrt{15}\right)\cdot \left(10-\sqrt{6}\right)\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}}$
- $\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{2}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}} \right)\cdot \left(\sqrt{3}+5\right)^{-1}$
- $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2000^2}\right),$
Zadanie 8
Obliczyć wartość wyrażenia $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ dla $x =\frac{\sqrt{7}-5}{1}.$
Zadanie 9
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
- $\frac{1}{b(abc+a+c)}-\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}:\frac{1}{a+\frac{1}{b}},$
- $\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}+b^{-3}}: \frac{a^{2}b^{2}}{(a+b)^2-3ab}\cdot \left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1}.$
Zadanie 10
Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury,
gdzie występujące łuki są półokręgami
$\text{oraz }|AB|=|BC|=|CD|=3\text{ cm.}$
gdzie występujące łuki są półokręgami
$\text{oraz }|AB|=|BC|=|CD|=3\text{ cm.}$
Zadanie 11
Na bokach kwadratu $ABCD$ o polu 64 cm2
zbudowano do wewnątrz jako na średnicach - półkola.
Obliczyć pole i obwód figury
będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półkoli.
zbudowano do wewnątrz jako na średnicach - półkola.
Obliczyć pole i obwód figury
będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półkoli.
Zadanie 12
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm.
Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło
o promieniu 4 cm. Wyznaczvpole figury będącej częścią wspólną tych kół.
Zadanie 13
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
Zadanie 14
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n^4+7(7+2n^2)$ dzieli się przez 64.
Zadanie 15
Sprawdź, że jeśli $n$ jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba $n^2-1$ jest podzielna przez 24.
Zadanie 16
Liczby rzeczywiste $a$, $b$ spełniają równości $a+b=1$ i $a^2+b^2=2.$
Oblicz wartość wyrażenia $a^4+b^4.$
Zadanie 17
Z wierzchołków $A$ i $C$ prostokąta $ABCD$ poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej $BD.$
Proste te dzielą przekątną na trzy równe części o długości 4 cm każda.
Oblicz długości boków prostokąta.
Zadanie 18
W trójkącie długości boków są równe 25 cm, 25 cm, 40 cm.
Oblicz pole tego trójkąta oraz długości jego środkowych.
Zadanie 19
W trójkącie prostokątnym iloczyn długości boków jest dwukrotnie większy niż iloczynu długości wysokości tego trójkąta.
Wyznacz miary kątów w tym trójkącie.
Zadanie 20
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm.
Oblicz długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.