|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2001/2002 |
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas II gimnazjum
|
Tematyka:
1. Pole i obwód koła.
2. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
4. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
|
| Zadanie 1 |
Długości boków trójkąta są równe 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta oraz środkową poprowadzoną do boku o długości 16 cm.
|
| Rozwiązanie Mariusza Banacha |
| Zadanie 2 |
Liczbę naturalną nazywa się dobrą jeśli zapisana jest ona przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr równy jest 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby. Wyznacz największą liczbę o tej własności.
|
| Zadanie 3 |
 W kwadracie o boku długości 10 cm na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i o środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.
|
| Rozwiązanie Kamila Ciszaka |
| Zadanie 4 |
|
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
a następnie oblicz jego wartość dla a = 0,75 i b =  .
|
| Zadanie 5 |
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne maja długości 20 cm i 15 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które okrąg ten podzielił przeciwprostokątną.
|
| Zadanie 6 |
Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 5. Uzasadnij, że liczba p4-1 jest podzielna przez 240.
|
| Zadanie 7 |
Oblicz:
|
Rozwiązanie Karoliny Kapicy
|
| Zadanie 8 |
Obliczyć wartość wyrażenia (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) dla x =
 .
|
| Rozwiązanie Joasi Klimek |
| Zadanie 9 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
|
| Zadanie 10 |
 Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury, gdzie występujące łuki są półokręgami oraz |AB|=|BC|=|CD|=3 cm.
|
Rozwiązanie Jaosi Konstanty
|
| Zadanie 11 |
 Na bokach kwadratu ABCD o polu 64 cm2 zbudowano do wewnątrz jako na średnicach półkola. Obliczyć obwód i pole figury będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półkół.
|
| Zadanie 12 |
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło o promieniu 4 cm. Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.
|
| Rozwiązanie Marcina Liberackiego |
| Zadanie 13 |
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
|
| Rozwiązanie Kamila Maksymiaka |
| Zadanie 14 |
Uzasadnij, że jeśli n jest liczba nieparzystą, to liczba n4+7(7+2n2) dzieli się przez 64.
|
| Rozwiązanie Krzysztofa Maliszewskiego |
| Zadanie 15 |
Sprawdź, że jeśli n jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2-1 jest podzielna przez 24.
|
| Rozwiązanie Rafała Mikulskiego |
| Zadanie 16 |
Niech liczby rzeczywiste a i b spełniają równości a+b=1 i a2+b2=2. Oblicz wartość wyrażenia a4+b4.
|
| Rozwiązanie Łukasza Mossakowskiego |
| Zadanie 17 |
Z wierzchołków A i C prostokąta ABCD poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej BD. Proste te dzielą przekątną na trzy równe części o długości 4 cm każda. Oblicz długości boków tego prostokąta.
|
| Rozwiązanie Agnieszki Osmoły |
| Zadanie 18 |
W trójkącie długości boków są równe 25, 25 i 40. Oblicz pole tego trójkąta oraz długości jego środkowych.
|
Rozwiązanie Joasi Płachcińskiej
|
| Zadanie 19 |
W trójkącie prostokątnym iloczyn długości boków jest dwukrotnie większy od iloczynu długości wysokości tego trójkąta. Wyznacz miary kątów w tym trójkącie.
|
| Zadanie 20 |
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 cm i 8cm. Oblicz długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
|
| Rozwiązanie Pawła Rybackiego |