Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 14

Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba n⁴+7(7+2n²) dzieli się przez 64.

Rozwiązanie

Oznaczę liczbę n⁴+7(7+2n²) literą W.
W = n⁴+7(7+2n²)
W = n⁴+49+14n²
W = n⁴+2×7n²+49
W = (n²+7)²
Forma liczby parzystej: 2a, gdzie aÎC.
Forma liczby nieparzystej: 2a - 1 lub 2a + 1, gdzie aÎC
Zamiast n podstawiamy wzór na liczbę nieparzystą np. 2a - 1
W = ((2a - 1)²+7)²
W = (4a²-4a+1+7)²
W = (4a²-4a+8)²
W = (4a²-4a+8)×(4a²-4a+8)
W = 4(a²-a+2)×4(a²-a+2)
W = 16(a²-a+2)²
Jeśli a jest liczbą parzystą, to a² też, więc a²-a jest parzysta, stąd a²-a+2 jest parzysta.
Jeśli a jest liczbą nieparzystą, to a² też, więc a²-a jest parzysta, stąd a²-a+2 jest parzysta.
Stąd dla dowolnego aÎC mamy, że a²-a+2 jest liczbą parzystą więc
a²-a+2=2b
gdzie b jest pewną liczbą całkowitą.
W = 16(2b)²
W = 16×4b²
W = 64b²

Z powyższych rozważań wynika, że liczba W dzieli się przez 64.

Krzysztof Maliszewski