Zadanie 14
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba n4+7(7+2n2) dzieli się przez 64.
Rozwiązanie
Oznaczę liczbę n
4+7(7+2n
2) literą W.
W = n4+7(7+2n2)
W = n
4+49+14n
2
W = n
4+2×7n
2+49
W = (n
2+7)
2
Forma liczby parzystej: 2a, gdzie aÎC.
Forma liczby nieparzystej: 2a - 1 lub 2a + 1, gdzie aÎC
Zamiast n podstawiamy wzór na liczbę nieparzystą np. 2a - 1
W = ((2a - 1)
2+7)
2
W = (4a
2-4a+1+7)
2
W = (4a
2-4a+8)
2
W = (4a
2-4a+8)×(4a
2-4a+8)
W = 4(a
2-a+2)×4(a
2-a+2)
W = 16(a
2-a+2)
2
Jeśli a jest liczbą parzystą, to a
2 też, więc a
2-a jest parzysta, stąd a
2-a+2
jest parzysta.
Jeśli a jest liczbą nieparzystą, to a
2 też, więc a
2-a jest parzysta, stąd a
2-a+2
jest parzysta.
Stąd dla dowolnego aÎC mamy, że a
2-a+2 jest liczbą parzystą więc
a
2-a+2="2b"
gdzie b jest pewną liczbą całkowitą.
W = 16(2b)
2
W = 16×4b
2
W = 64b
2
Z powyższych rozważań wynika, że liczba W dzieli się przez 64.
Krzysztof Maliszewski