LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 12

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb wynosi 12, a najmniejsza i wspólna wielokrotność jest równa 168. Znaleźć te liczby.

Rozwiązanie

Skoro największy wspólny dzielnik wynosi 12, a najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 168, to szukane liczby nie mogą być większe niż 168 i mniejsze niż 12. Liczby te muszą być podzielne przez 12, czyli mogą to być:

12 = 12×1, 24="12×2," 36="12×3," 48="12×4," 60="12×5," 72="12×6," 84="12×7," 96="12×8," 108="12×9," 120="12×10," 132="12×11," 144="12×12," 156="12×13," 168="12×14. Jeśli liczby A i B spełniają warunki zadania, to

A="12×a" i B="12×b gdzie a i b są pewnymi liczbami spośród 1, 2,...,14.

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczba A i B wynosi

12×a×b = 168.

Stąd wynika, że

a×b="14. Jedyne możliwe rozwiązania to

a = 1 i b = 14   albo   a = 2 i b = 7.

Wtedy

A = 12 i B = 168   albo   A = 24 i B = 84

Wyniki są dobre bo

NWD(12,168)=12 i NWD(24,84)=12.

Odpowiedź

Szukane liczby to 12 i 168 lub 24 i 84.

Kamil Maksymiak