LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 12

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb wynosi 12, a najmniejsza i wspólna wielokrotność jest równa 168. Znaleźć te liczby.

Rozwiązanie

Skoro największy wspólny dzielnik wynosi 12, a najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 168, to szukane liczby nie mogą być większe niż 168 i mniejsze niż 12. Liczby te muszą być podzielne przez 12, czyli mogą to być:

12 = 12×1, 24=12×2, 36=12×3, 48=12×4, 60=12×5, 72=12×6, 84=12×7, 96=12×8, 108=12×9, 120=12×10, 132=12×11, 144=12×12, 156=12×13, 168=12×14.

Jeśli liczby A i B spełniają warunki zadania, to

A=12×a i B=12×b

gdzie a i b są pewnymi liczbami spośród 1, 2,...,14.

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczba A i B wynosi

12×a×b = 168.

Stąd wynika, że

a×b=14.

Jedyne możliwe rozwiązania to

a = 1 i b = 14   albo   a = 2 i b = 7.

Wtedy

A = 12 i B = 168   albo   A = 24 i B = 84

Wyniki są dobre bo

NWD(12,168)=12 i NWD(24,84)=12.

Odpowiedź

Szukane liczby to 12 i 168 lub 24 i 84.

Kamil Maksymiak