Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Dany jest odcinek $AB$, którego długość przy obranej jednostce jest równa $a$. Narysuj kwadrat o boku $5a$ i podaj jego pole. Co powiesz o polach tych dwóch kwadratów, jeżeli długość jednego boku wynosi $a$ jednostek, a długość boku drugiego kwadratu wynosi $5a$ jednostek?

Wykonaj działania
$\left\{\left[\left(\frac{1}{16}y^4\right):\left(\frac{1}{2}y^3\right)\right]\cdot \left(\frac{1}{4}y^2\right)\right\}:\left(\frac{1}{2}y\right)^2 $
i oblicz wartość wyrażenia dla $y=\frac{3}{0,75}$.

Chleb waży o 24% więcej niż wzięta do wypieku mąka. Ile trzeba wziąć mąki, żeby otrzymać 620 kg chleba?

Turysta przebył jednego dnia $\frac{7}{24}$ całej drogi, drugiego dnia 30% części pozostałej. Jak długą drogę miał do przebycia turysta, jeśli po dwóch dniach pozostało mu jeszcze 59,5 km?

Obwód kwadratu jest równy obwodowi prostokąta o bokach długości 10 cm i 6 cm. Jakim procentem pola kwadratu jest pole prostokąta?

Oblicz wartości wyrażeń:

1. $0,4-\left\{ \left[(-0,8)\cdot (-1,25)-2,75 \right]\cdot \left[(-1)-\left(-\frac{5}{14}\right):(-2,5) \right] \cdot \left[\left(-\frac{4}{7}\right):\left(-\frac{8}{7}\right)\right]\right\}$
2. $\frac{(8-11)\cdot (5-8)}{(1-4)\cdot (2-5)}:\frac{\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{5}+\frac{4}{3}-\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{1}{9}}{-0,8+\frac{3}{5}} +(-6,2+4,6):\frac{8}{3} $

Pięć klas ustawiło się na boisku czwórkami do marszu na wycieczkę. Wiadomo, że w każdej klasie była jedna "niepełna" czwórka. Tomek twierdził, że muszą być co najmniej dwie klasy, które mają takie same niepełne czwórki. Czy miał rację?

Liczbą najbardziej złożoną nazywamy taką liczbę, która ma więcej dzielników niż każda liczba naturalna dodatnia mniejsza od niej. Na przykład, liczba 6 jest najbardziej złożona gdyż ma cztery dzielniki, a liczby naturalne mniejsze od 6 mają mniej dzielników.

1. Znajdź następną liczbę najbardziej złożoną.
2. Znajdź wszytkie liczby najbardziej złożone nieprzekraczające liczby 100.

W liczbie czterocyfrowej $3*64$ cyfra setek jest oznaczona gwiazdką. Wyznaczyć cyfrę setek tak, aby liczba ta była podzielna przez 36

Dane są dwa odcinki długości 104 cm i 143 cm. Znaleźć najdłuższy odcinek, który może być wspólną jednostką miary tych dwóch odcinków.

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb wynosi 12, a najmniejsza i wspólna wielokrotność jest równa 168. Znaleźć te liczby.

Wykazać, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8.

W szkole było tyle dzieci, że można je było ustawić pełnymi parami, bądź trójkami, czwórkami, piątkami lub szóstkami. Gdyby jednak ustawiano je siódemkami, to jedno dziecko by  zostało. Ile dzieci mogło być w tej szkole jeśli ogólna liczba dzieci była mniejsza niż 1000?

Woda stanowi około 90% masy grzybów. Suszono 3 kg grzybów. Wyparowało $\frac{8}{9}$ wody. Ile ważyły ususzone grzyby?

Znaleźć dwie liczby podzielne przez 11, które mają tę własność, że jeśli dodać do nich 1, to będą podzielne przez wszytkie liczby naturalne mniejsze od 11.

Jedna z trzech pozornie jednakowych kulek jest lżejsza od pozostałych. Wykryć tę kulkę za pomocą jednego ważenia na wadze szalkowej bez używania odważników.

Pomiędzy 8 monetami znajduje się jedna fałszywa. Jest ona lżejsza od monet prawdziwych. Wykryć monetę za pomocądwóch ważeń na wadze szalkowej bez używania odważników.

Od licznika ułamka $\frac{29}{31}$ odjęto pewną liczbę i tę samą liczbę dodano do mianownika tego ułamka. W wyniku otrzymano ułamek równy $\frac{1}{5}$. Znaleźć tę liczbę.

Oblicz wartość następującego ułamka łańcuchowego: $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}$.

Które z poniżej podanych ułamków reprezentują liczby naturalne?

1. $\frac{10^{358}+8}{9}$
2. $\frac{10^{101}+9}{9}$
3. $\frac{10^{101}-8}{9}$

Ułamek $\frac{20}{21}$ napisać w postaci ułamka łańcuchowego.

Ułamek $\frac{7}{12}$ wyrazić w postaci sumy

1. dwóch ułamków prostych,
2. trzech ułamków prostych  różnych mianownikach,
3. czterech ułamków prostych o różnych mianownikach

Ułamek prosty to ułamek o liczniku 1 i mianowniku będącym liczbą naturalną różną od zera.

Cyfrą setek tysięcy liczby sześciocyfrowej jest 1. Jeżeli cyfrę 1 przenieść na koniec zapisu dziesiętnego tej liczby, to otrzymamy liczbę trzykrotnie większą. Co to za liczba?

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych, których suma jest równa ich iloczynowi.