LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 16

Znajdź dwie liczby podzielne przez 11, które mają własność, że jeśli dodać do nich 1, to będą podzielne przez wszystkie liczby naturalne mniejsze od 11.

Rozwiązanie

Szukane liczby x podzielne przez 11 można zapisać w postaci 11 . n, gdzie n jest liczbą naturalną.  

x = 11 . n

Aby liczba  x + 1 dzieliła się  przez wszystkie liczby mniejsze niż 11, czyli przez 1, 2, 3, 4, 5, 6, ,7 , 8, 9, 10, wystarczy by dzieliła się przez 2 . 3 . 2 . 5 . 7 . 2 . 3 = 2520.
Zatem x+1 musi być postaci 2520 . k, gdzie k jest liczbą naturalną.

x + 1 = 2520 . k

Stąd   11 . n + 1 =  2520 . k

Ponieważ   2520 = 11 . 229 + 1, więc

 11 . n + 1 =  (11 . 229 + 1) . k

11 . n + 1 =  11 . 229 . k + k

11 . n - 11 . 229 . k =  k - 1 

Liczba k - 1 jest zatem podzielna przez 11.

 Stąd k Î {1, 12, 23, 34, ...}.

  1. Jeśli k = 1, to x + 1 = 2520 . 1, czyli x = 2520 . 1 - 1 = 2519.
  2. Jeśli k = 12, to x + 1 = 2520 . 12, czyli x =  30240 . 2 -1 = 30239.

    i tak dalej ...

Odpowiedź

Liczb spełniających warunki zadania jest nieskończenia wiele, a najmniesze z nich
to 2519 i 30239.