LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ETAP IV
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH I KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 18

Wyznacz sumę wszystkich liczb czterocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 4 i 5 bez powtarzania cyfr

Rozwiązanie

Wszystkich takich liczb jest 120, bo pierwsza cyfra może być wybrana na 5 sposobów, druga na 4 sposoby, trzecia na 3, czwarta na 2 i piąta na 1 sposób co daje 5×4×3×2×1 = 120 liczb.

PRZYKŁAD

 Liczba możliwości
Do wyboru mam 5 cyfr. Wybieram np. 4123455
Do wyboru mam 4 cyfry. Wybieram np. 2123 5 5×4
Do wyboru mam 3 cyfry. Wybieram np. 1 1 3 5 5×4×3
Do wyboru mam 2 cyfry. Wybieram np. 3   3 5 5×4×3×2
Do wyboru mam 1 cyfrę, tylko 5     5 5×4×3×2×1
W ten sposób otrzymałam liczbę 42135120

Zauważam teraz, że jeśli x jest jedną z liczb 1, 2, 3, 4, 5,
to 6-x jest odpowiednio równe 5, 4, 3, 2, 1.

Liczby utworzone z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 mogę więc połączyć w pary tak, żeby cyfry stojące na tych samych miejscach zapisu dziesiętnego dawały w sumie 6. Razem tych par będzie 60, bo wszystkich liczb jest 120. Suma każdej z par będzie równa 66666. Zatem suma wszystkich takich liczb będzie równa 60×66666 = 399960

 Para nr 1Para nr 2...Para nr 60
+1234521345...31245
5432145321...35421
SUMA6666666666...66666
RAZEM60×66666 = 399960

Odpowiedź

Suma wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 wynosi 3999960.