LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 2

Udowodnij, że jeśli liczba n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to n = 2k + 1, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą.

Różnica czwartej potęgi liczby n i liczby 1 jest równa:

n4 - 1 = (n2 - 1)(n2 + 1) = (n-1)(n + 1)(n2 + 1) =

 = (2k)(2k + 2)(4k2 + 4k + 2) = 8k(k-1)(2k2 + 2k + 1)

Liczby k-1 i k są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich dzieli się przez 2. Zatem iloczyn 8k(k-1)(2k2 + 2k + 1) dzieli się przez 16, czyli n4 - 1 dzieli się przez 16.

Koniec dowodu

Marta Stolarska