LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6
Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie, którego boki mają długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.
Rozwiązanie
Trzeba policzyć długość odcinka WO.
  1. Z tw. Pitagorasa |CD|2=102-82=36
    Stąd |CD|=6
  2. Pole P trójkąta ABC można policzyć na 2 sposoby:

    P=(1/2)×|AB|×|CD|=(1/2)×16×6=48
    P=(1/2)×|AB|×r+(1/2)×|BC|×r+(1/2)×|CA|×r=18×r

    Stąd 18×r=48, więc |WD| = r=8/3

  3. Z tw. Pitagorasa
    |OD|2+82 = R2   
    |OD|=R-6
    (R-6)2+82 = R2
    R2-12R+36+64=R2
    12R=100
    R=25/3
    |OD|=R-6=7/3
  4. |WO|=|WD|+|DO|=8/3+7/3=5
Odpowiedź
Odległość między środkami okręgów wynosi 5 cm.