LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA KONKKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Rozwiąż rebus   ABBA = AA2 + BB2.

Rozwiązanie

BB2 = ABBA - AA2

Od razu widać, że B musi być parzyste, ponieważ liczby ABBA i AA2 są albo obie parzyste, albo obie nieparzyste: zależy to od cyfry A.

Czyli B Î {2,4,6,8}.

ABBA = AA2 + BB2
1000×A + 100×B + 10×B + A = (10×A + A)2 + (10×B + B)2
1001×A + 110×B = 121×A2 + 121×B2        /:11
91×A + 10×B = 11×A2 + 11×B2
88×A + 3×A + 11×B - B = 11×A2 + 11×B2
3×A - B = 11×A2 + 11×B2 - 88×A - 11×B
Z ostatniej równości widać, że 3×A - B dzieli się przez 11
-9 < 3×A - B < 27
Są trzy możliwości:

Możliwość I Możliwość II Możliwość III
3×A - B = 0 3×A - B = 11 3×A - B = 22
3×A = B 3×A = 11 + B 3×A = 22 + B
A = 2 i B = 6
ale
2662 ą 222 + 662 		A = 5 i B = 4
ale
5445 ą 552 + 442 		A = 8 i B = 2
i
8228 = 882 + 222

Odpowiedź

A = 8 i B = 2.

Mikołaj Bułatek