Liga UMK

Zadanie 2

Udowodnij, że jeśli liczba n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to n = 2k + 1, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą.

Różnica czwartej potęgi liczby n i liczby 1 jest równa:

n⁴ - 1 = (n² - 1)(n² + 1) = (n-1)(n + 1)(n² + 1) =

= (2k)(2k + 2)(4k² + 4k + 2) = 8k(k-1)(2k² + 2k + 1)

Liczby k-1 i k są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich dzieli się przez 2, a więc cała liczba dzieli się przez 16.

Piotr Biegun