2002/2003 g1

Zadanie 1

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 cm i 20 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.

Zadanie 2

Udowodnij, że jeśli liczba naturalna $n$ jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie Piotra Bieguna

Zadanie 3

Średnica $AB$ dzieli koło o środku $O$ na dwie części.
Trójkąt $ABC$ jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 16 cm i 12 cm.
Na odcinkach $AO$ i $OB$ jako na średnicach skonstruowano półkoła
leżące na zewnątrz trójkąta $ABC$ (patrz rysunek).
Oblicz pole i obwód zacieniowanego obszaru.

Zadanie 4

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie $\frac{(a+b)^2-4b^2}{a^2-b^2} : \frac{a^2+9b^2+6ab}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\cdot \left(\frac{1}{b}+\frac{3}{a}\right)}$ a następnie oblicz jego wartość dla $a=\frac{1}{7}$ i $b=3\frac{1}{2}.$

Zadanie 5

Pewna liczba naturalna $n$ przy dzieleniu przez 2001 i 2002 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia tej liczby przez 33?

Zadanie 6

Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.

Rozwiązanie Radka Cywińskiego

Zadanie 7

Długości boków trójkąta są równe 12 cm, 16 cm i 20 cm. Wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta oraz środkową poprowadzoną do boku o długości 16 cm.

Zadanie 8

Liczbę naturalną nazywa się dobrą jeśli zapisana jest ona przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr równy jest 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby. Wyznacz największą liczbę o tej własności.

Zadanie 9

W kwadracie o boku długości 10 cm na rysunku obok,
można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat
oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm
i o środkach w wierzchołkach tego kwadratu.
Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.

Zadanie 10

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right)\cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right)$

Zadanie 11

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które okrąg ten podzielił przeciwprostokątną.

Zadanie 12

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą większą od 5. Uzasadnij, że liczba $p^4-1$ jest podzielna przez 240.

Zadanie 13

Oblicz:

$\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\left(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}\right)}$
$(4+\sqrt{15})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{4-\sqrt{15}}$
$\left( \frac{2}{\sqrt{3}-1}+ \frac{3}{\sqrt{3}-2}+ \frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot (\sqrt{3}+5)^{-1}$
$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2002^2}\right)$

Zadanie 14

Oblicz wartość wyrażenia $(x+1)(x+2)(x+3)$ dla $x=\frac{\sqrt{7}-3}{2}.$

Zadanie 15

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:

$\frac{1}{b(abc+a+c)}-\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}: \frac{1}{a+\frac{1}{b}}$
$\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}+b^{-3}}:\frac{a^{2} b^{2}}{(a+b)^{2}-3ab} \cdot \left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1} $

Zadanie 16

Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka narysowano koło o promieniu 4 cm. Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.

Zadanie 17

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.

Zadanie 18

Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 5 cm i 15 cm, a długości przekątnych wynoszą 12 cm i 16vcm.

Zadanie 19

Sprawdź, że jeśli $n$ jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba $n^2-1$ jest podzielna przez 24.

Zadanie 20

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Zadanie 21

Z wierzchołków $A$ i $C$ prostokąta $ABCD$ poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej $BD.$ Proste te dzielą przekątną na trzy równe części o długości 4 cm każda. Oblicz długości boków tego prostokąta.