|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003 |
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas II gimnazjum
|
Tematyka:
1. Pole i obwód koła.
2. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
4. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
|
| Zadanie 1 |
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 cm i 20 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
|
| Zadanie 2 |
| Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16. |
Rozwiązanie Piotra Bieguna
|
| Zadanie 3 |
Średnica AB dzieli koło o środku  O na dwie części. Trójkąt ABC jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 16 cm i 12 cm. Na odcinkach AO i OB jako na średnicach skonstruowano półkoła leżące na zewnątrz trójkąta ABC (patrz rysunek). Oblicz pole i obwód zacieniowanego obszaru.
|
| Zadanie 4 |
|
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
a następnie oblicz jego wartość dla 
|
| Zadanie 5 |
Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2001 i 2002 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia tej liczby przez 33?
|
| Zadanie 6 |
| Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.
|
Rozwiązanie Radka Cywińskiego
|
| Zadanie 7 |
Długości boków trójkąta są równe 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta oraz środkową poprowadzoną do boku o długości 16 cm.
|
| Zadanie 8 |
Liczbę naturalną nazywa się dobrą jeśli zapisana jest ona przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr równy jest 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby. Wyznacz największą liczbę o tej własności.
|
| Zadanie 9 |
 W kwadracie o boku długości 10 cm na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i o środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.
|
| Zadanie 10 |
|
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:
|
| Zadanie 11 |
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które okrąg ten podzielił przeciwprostokątną.
|
| Zadanie 12 |
Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 5. Uzasadnij, że liczba p4-1 jest podzielna przez 240.
|
| Zadanie 13 |
| Oblicz:
|
| Zadanie 14 |
Oblicz wartość wyrażenia (x + 1)(x + 2)(x+3)(x+4) dla x =  .
|
| Zadanie 15 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
|
| Zadanie 16 |
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło o promieniu 4 cm. Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.
|
| Zadanie 17 |
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
|
| Zadanie 18 |
Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 5 cm i 15 cm, a długości przekątnych wynoszą 12 cm i 16 cm.
|
| Zadanie 19 |
Sprawdź, że jeśli n jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2 1 jest podzielna przez 24.
|
| Zadanie 20 |
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
|
| Zadanie 21 |
Z wierzchołków A i C prostokąta ABCD poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej BD. Proste te dzielą przekątną na trzy równe części o długości 4 cm każda. Oblicz długości boków tego prostokąta.
|