LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA Z PREZENTU WAKACYJNEGO

Zadanie 4

Prawdziwe jest zdanie: "Jeżeli dana jest czterocyfrowa liczba naturalna w której suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności, to dana liczba jest podzielna przez liczbę 11".
  1. Sprawdź, czy liczba 4279 jest podzielna przez 11.
  2. Znajdź cyfrę _ taką, aby liczba _952 była podzielna przez 11.
  3. Czy prawdziwe jest zdanie: "Każda liczba czterocyfrowa o jednakowych wszystkich cyfrach nie jest podzielna przez 11"?
  4. Wyznacz wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 11 i mniejsze od 2002.

Rozwiązanie:

  1. 4+7=11
    2+9=11
    Odpowiedź:
    Liczba 4279 jest podzielna przez 11, ponieważ suma cyfr tysięcy i dziesiatek tej liczby jest równa sumie cyfr setek i jedności.
  2. 9+2=11
    11-5=6
    Odpowiedź:
    Szukaną liczbą jest 6, ponieważ liczba 6952 jest podzielna przez 11.
  3. Odpowiedź:
    Zdanie te jest nieprawdą, ponieważ zawsze suma cyfr tysięcy i dziesiątek każdej liczby czterocyfrowej o jednakowych wszystkich liczbach będzie się równała sumie cyfr setek i jedności. Oznacza to, że więc każda liczba czterocyfowa o jednakowych cyfrach jest podzielna przez 11.
  4. Odpowiedź:
    Takich liczb jest więcej niż liczb spełniających warunek, że suma cyfr jedności i setek jest równa sumie cyfr dziesiątek i tysięcy, bo np. liczba 1969 nie spełnia tego warunku ale jest podzielna przez 11 (1969=11×179).
    Oto liczby czterocyfrowe podzielne przez 11 mniejsze niż 2002:
    1001=91×11, 1012=91×11, ..., 1991=181×11
    Jest ich tyle ile jest liczb od 91 do 191 włącznie, czyli 101.

Ewelina Brania