Prezent wakacyjny
dla uczniów gimnazjum

Polska ma około 38 mln mieszkańców i 312 tys. $\text{km}^2$ powierzchni. Warszawa zajmuje około $\frac{1}{500}$ powierzchni całej Polski i mieszka w niej około $\frac{1}{23}$ ludności Polski. Gdyby na 1 $\text{km}^2$ powierzchni Polski przypadało tyle samo ludzi co w Warszawie, to ile wynosiłaby liczba mieszkańców Polski?

Ściany graniastosłupa prawidłowego czworokątnego mają powierzchnię 100 $\text{cm}^2$ lub 400 $\text{cm}^2$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Prawdziwe jest zdanie:
Jeżeli dana jest czterocyfrowa liczba naturalna, w której suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności, to dana liczba naturalna jest podzielna przez liczbę 11.

1. Sprawdź czy liczba $4279$ jest podzielna przez $11.$
2. Znajdź cyfrę $x$ taką aby liczba $\overline{x952}$ była podzielna przez $11.$
3. Czy prawdziwe jest następujące zdanie:
   Każda liczba czterocyfrowa o wszystkich cyfrach jednakowych nie jest podzielna przez $\text{11}.$?
4. Wyznacz wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez $11$ i mniejsze niż $2002.$

Specjalna tapeta sprzedawana jest w trzech rodzajach opakowań $A$, $B$, $C$. Należy wytapetować korytarz o długości 12 metrów, szerokości 6 metrów i wysokości 3 m. Na podstawie danych podanych w tabeli podejmij decyzję, ile i jaki rodzaj opakowań z tapetą należy kupić, aby koszty tapetowania były jak najmniejsze. Jaki to będzie koszt?

Rodzaj opakowania	$A$	$B$	$C$
Cena opakowania w złotych	$6$	$14$	$20$
Powierzchnia jaką można wytapetować z danego opakowania w m2	$2$	$5$	$6$

Autor otrzymuje od swojego wydawcy honorarium według następującej zasady. Ustalona z góry kwota stanowi przychód autora, czyli kwotę umowy między autorem a wydawcą. Od tego przychodu odlicza się tzw. koszty uzyskania przychodu, które stanowią 50% przychodu. Uzyskana różnica jest dochodem autora.
Od tego przychodu wydawca potrąca na rzecz Urzędu Skarbowego 20% i wypłaca autorowi jego przychód pomniejszony o ten podatek.

1. Autor otrzymał 5580 złotych. Oblicz kwotę jego przychodu, dochód i potrącony podatek.
2. $Wydawca przekazał do Urzędu skarbowego podatek w wysokości 448 złotych. Oblicz kwotę przychodu autora, jego dochód i kwotę jaką mu wypłacono.

W wielu krajach Unii Europejskiej obowiązująca walutą jest euro €.
Załóżmy, że w pewnym państwie stosuje się następującą zasadę płacenia podatków od osób fizycznych:

Wysokość dochodu	Wysokość podatku
Od 0 do 500 euro	Nie płaci się podatku
Od 500 do 1000 euro	15% kwoty powyżej 500 euro
Od 1000 do 4000 euro	75 euro plus 35% kwoty powyżej 4000 euro
Powyżej 4000 euro	825 euro plus 15% kwoty powyżej 500 euro

1. Oblicz kwoty podatków, które muszą zapłacić tym państwie podatnicy o następujących dochodach rocznych:
   1. 875 euro,
   2. 3550 euro.
2. Jaki dochód miał mieszkaniec tego państwa jeśli zapłacił on 6625 euro podatku?

Na planie ogródków działkowych wykonanych w skali 1:1000 działka Marka ma kształt prostokąta, w którym długości boków róznią się o 10 centymetrów. Wiedząc, że powierzchnia działki Marka na planie równa się 200 cm², oblicz ile metrów siatki potrzeba na jej całkowite ogrodzenie.

Znajdź wszystkie liczby pierwsze $p$ takie, że liczby $p + 10$ i $p + 20$ są liczbami pierwszymi.

Niech $a$, $b$, $c$ oznaczają długości boków trójkąta oraz $r$ - promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wykaż, że $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} \leq \frac{1}{4r^2}.$

Liczby $a^5$ i $a^7$ są całkowite. Wykaż, że liczba $a$ jest również całkowita.

Niech $a$, $b$, $c$ będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że $\sqrt{a+b-c} + \sqrt{a+c-b} + \sqrt{b+c-a} \leq \sqrt{a} +\sqrt{b}+\sqrt{c}.$

Niech $r$ i $R$ oznaczaja odpowiednio promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny i promień okręgu opisanego na tym samym trójkącie.
Wykaż, że $\frac{r}{R} \leq \sqrt{2}-1.$

Jaki procent tłuszczu zawiera mleko otrzymane ze zmieszania 1 litra mleka tłustego o zawartości 3,2% tłuszczu i 2 litrów mleka o zawartości 0,5% tłuszczu?

Bogacz posiadając 100 000 złotych, aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę, dał biedakowi 100 złotych. O ile procent zbiedniał bogacz? O ile procent wzbogacił się biedak?

Mirek przechowuje swoje oszczędności w monetach dwuzłotowych i pięciozłotowych. Dwuzłotówki stanowią 35% jego oszczędności, pięciozłotówek ma 26. Ile ma dwuzlotówek?

Pokój prostokątny o powierzchni 20 m² ma na rysunku wymiary 5 cm i 4 cm. W jakiej skali wykonany jest ten rysunek?

Czy może być prawdą, że przeciętny człowiek przesypia w ciągu życia około 75 000 godzin?

Który z ułamków o mianowniku $12$ i liczniku całkowitym jest najlepszym przybliżeniem liczby $\sqrt{2}$?