Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2001/2002

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA Z PREZENTU WAKACYJNEGO

Zadanie 14

Niech r i R oznaczają odpowidnio promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokatnym. Wykaż, że

ROZWIĄZANIE

1.Tak więc na początku wykonamy skomplikowany rysunek :) Na czerwono zaznaczymy promienie koła wpisanego w trojkąt. Przez A', B', C' oznaczymy miejca zetknięcia się promieni z bokami trójkąta w punktach styczności. Wszyscy zapewne wiemy, że promienie te padają na boki trójkąta pod kątem 90°.

2. Gdy się przyjrzymy można dostrzec kwadrat CA'OB', więc odcinek CA' będzie się równał długości promienia okregu. To samo dotyczy z odcinka.CB'.

3. Skoro CA' ma długość r, to A'C ma długość b - r, itd. ... .

4. Co najmniej od kilku lat powinniśmy wiedzieć, że dwusieczna kąta dzieli go na dwa takie same kąty. Dlatego też kąty przy wierzchołku A, oznaczone przez x są przystające. Tak więc na podstawie cechy przystawania trójkatów bkb (bok r, kąt 90°-x, bok AO) trójkąty AB'O i AC'O będą przystające. Zatem |AC'| = |AB' = b-r. Taka samo |BC'| = |BA'| = a-r.

5. Z powyższych uwag wynika, że c = a + b - 2r. Stąd 2r = a + b - c. Wniosek dla nas najważniejsz jest teraz następujący:

PROMIEŃ OKRĘGU WPISANEGO W TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY WYRAŻA SIĘ WZOREM

Ponadto wszyscy wiemy, że :

PROMIEŃ OKREGU OPISANEGO NA TÓRJKĄCIE PROSTOKATNYM JEST RÓWNY POŁOWIE PRZECIWPROSTKĄTNEJ, A WIĘC WYRAŻA SIĘ WZOREM

A teraz zobaczymy, co oznacza nierówność podana w zadaniu:

1	Mamy pokazać, że:
2	Podstawiamy wzór na r i R:
3	Mnożymy licznik i mianownik "piętrowca" przez 2:
4	Teraz trochę lepiej to wygląda:
5	Ułamek zamieniamy na różnicę dwóch ulamków:
6	Oczywiście c dzielone przez c równa się 1:
7	Do obu stron równania dodajemy 1:
8	Mnożymy obie strony przez c:
9	Podnosimy lewą i prawą stronę do kwadratu:
10	Z lewej strony stosujemy wzór skróconego mnożenia, a z prawej tw. Pitagorasa:
11	Z prawej strony stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:
12	Od obu stron równania odejmujemy a² + b²:
13	Od obu stron równania odejmujemy 2ab:
14	Widzimy, że po prawa strona, to wzór skróconego mnożenia na (a-b)²:

Ostatnia nierówność jest oczywiście zawsze prawdziwa bo kwadrat jakiejkolwiek liczby jest większy lub równy 0. Widzimy więc, że pierwsza nierówność: także musi być prawdziwa!

Marta Jankowiak