LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA Z PREZENTU WAKACYJNEGO

Zadanie 10.

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczby p + 10 i p + 20 są liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie:

Niech p należy do zbioru liczb pierwszych: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...}

Jeśli p = 2, to p + 10 = 12 i p + 20 = 22, więc p nie spełnia warunków zadania, ponieważ 12 i 22 nie są liczbami pierwszymi.

Jeśli p=3, to p+10=13 i p+20=23, więc p spełnia warunki zadania, ponieważ 13 i 23 są liczbami pierwszymi.

Pokażę, że liczba 3 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunek zadania.

Jeśli liczba pierwsza jest różna od 3, to nie może być podzielna przez 3, zatem reszta z dzielenia liczby p przez 3 może być równa albo 1, albo 2.
  1. Gdy reszta z dzielenia liczby p przez 3 jest równa 1, to liczba p jest postaci: p = 3n + 1, gdzie n jest pewną liczbą naturalną (na przykład 7 = 3×2 + 1, 13 = 3×4 + 1).
    Wtedy p + 20 = 3n + 1 + 20 = 3n + 21=3(n + 7).
    Liczba ta jest różna od trzech i jest podzielna przez 3, więc nie jest liczbą pierwszą. Zatem liczba postaci p = 3n + 1 nie spełnia obu warunków zadania bo nie spełnia warunku drugiego.

  2. Gdy reszta z dzielenia liczby p przez 3 jest równa 2, to liczba p jest postaci: p = 3n + 2, gdzie n jest pewną liczbą naturalną (na przykład 5 = 3×1 + 2, 11 = 3×3 + 2).
    Wtedy p + 10 = 3n + 2 + 10 = 3n + 12=3(n + 4).
    Liczba ta jest różna od trzech i jest podzielna przez 3, więc nie jest liczbą pierwszą. Zatem liczba postaci p = 3n + 2 nie spełnia obu warunków zadania bo nie spełnia warunku pierwszego.

Odpowiedź:

Jedyną liczbą spełniającą warunek zadania jest liczba 3.

Łukasz Gajtkowski