LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA Z PREZENTU WAKACYJNEGO

Zadanie 12

Liczby a5 i a7 są całkowite. Wykaż, że liczba a jest również całkowita.

Dowód:

Wiemy, że a5 i a7 są całkowite. 
a7 
- = a2
a5
a2 jest liczbą wymierną, ponieważ dwie liczby całkowite podzielone przez siebie dają liczbę wymierną.

a2×a2=a4

Dwie liczby wymierne pomnożone przez siebie dają liczbę wymierną. 

a5
- = a
a4

a jest liczbą wymierną (patrz: wyżej)

Każdą liczbę wymierną możemy przedstawić w postaci ułamka nieskracalnego o całkowitym liczniku i mianowniku, więc liczbę a możemy przedstawić w takiej postaci: 

    k
a = - ,   gdzie n i k są liczbami całkowitymi, n ą 0 i  NWD(k,n)=1
    n
Gdyby liczba n była różna od 1 i od -1, to n5 byłaby też różna od 1 i -1 oraz liczba k5 nie dzieliłaby się przez n5, bo k i n nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i -1. Ale wtedy liczba 
     k5
a5 = -   nie byłaby całkowita.
     n5

Zatem liczba n musi być równa 1 i wobec tego a jest liczbą całkowitą.

Autor: Przemek "TrOOl" Gliniecki