LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 7

Czy można znaleźć 55 liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Rozwiązanie

Niech Z oznacza zbiór liczb dwucyfrowych,
wśród których nie ma dwóch liczb dających w sumie 100.

Jest 90 liczb dwucyfrowych.

Podzielmy je na trzy grupy A, B i C.
W grupie A są liczby, które  w sumie z inną liczbą dwucyfrową dają 100.
W grupie B są liczby, które w sumie z żadną inną liczbą dwucyfrową nie dają 100.
W grupie C jest liczba 50, która w sumie ze sobą daje 100.

GRUPA AGRUPA BGRUPA C
10 i 90 9150
11 i 8992 
12 i 8893 
13 i 8794 
14 i 8695 
15 i 8596 
16 i 8497 
17 i 8398 
18 i 8299  
19 i 81  
.
.
.
  
49 i 51  

Widać, że

W grupie A jest 40 par liczb.
Z każdej takiej pary można wybrać tylko jedną liczbę do zbioru Z, (bo na przykład, jeśli w zbiorze Z jest liczba 90 to nie może być w nim liczba 10).
W grupie B jest 9 liczb.
Z grupy B można wybrać każdą liczbę do zbioru Z.
W grupie C jest 1 liczba 50.
Nie można jej wybrać do zbioru Z.

Wynika stąd, że w zbiorze Z może być maksymalnie 40 liczb z grupy A i 9 liczb z grupy B, co daje zaledwie 49 liczb. Zbiór Z może zawierać co najwyżej 49 liczb.

Odpowiedź

Nie znajdziemy 55 różnych liczb, wśród których nie ma liczb dających w sumie 100, bo nawet wśród 50 liczb zawsze znajdą się dwie, które w sumie dają 100 lub znajdzie się jedna liczba (50), która w sumie ze sobą daje 100.

Paweł Dylewski