Zadania przygotowawcze
do etapu I-go dla uczniów klas I gimnazjum

Buty kosztujące 100 złotych przeceniono o 20%. Po miesiącu, w związku z sezonową obniżką cen, wszystkie ceny zmniejszono o 20%, po kolejnym miesiącu dokonano następnej przeceny i wtedy buty kosztowały 60 złotych. O ile procent była ostatnia obniżka?

Czy wśród liczb naturalnych od 1 do 2000 włącznie więcej jest liczb podzielnych przez 3 czy też liczb, które dzielą się przez 4 lub przez 6?

Wyznacz liczbę dzielników naturalnych liczby $6^5+2^4\cdot3^6+2^6\cdot3^4.$

Zbadaj, który z ułamków jest większy, $\frac{37}{136}$ czy 0,2(740)?

Oblicz: $\left(17\frac{3535}{88375}-16\frac{1001}{1365} \right)\cdot 3\frac{6}{23}+3\frac{6}{23}:\left(5-1\frac{187}{253} \right).$

Czy można znaleźć 55 różnych liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Uzasadnić, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną, to ułamek $\frac{n^2+2n-1}{n^2+2n}$ jest nieskracalny.

Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ tak, by liczba $p^{p+1}+2$ była liczbą pierwszą.

W książce rekordów Guinessa podano, że największą dotychczas odkrytą liczbą pierwszą jest $23021^{337}-1.$ Czy nie jest to pomyłka?

Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe $\overline{abcde}$, które są podzielne przez 36 i dla których $a\lt b\lt c\lt d\lt e.$

Czy można liczby od 32 do 86 włącznie zapisać w pewnej kolejności tak by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

Wyznacz 155-ą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby $\frac{7}{13}$.

Każdy z następujących ułamków dziesiętnych przedstaw w postaci ułamka zwykłego:

1. 0,7(3)
2. 0,(145)
3. 0,11(12).

Oblicz:

1. $\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{10\cdot11}$,
2. $\frac{685\cdot 654654}{327\cdot 137137+137\cdot 327327},$
3. $\left(1+\frac{2}{3}\right) \cdot \left(1+\frac{2}{5}\right) \cdot \text{...}\cdot \left(1+\frac{2}{1999}\right).$

Pająk rozpina nitki we wnętrzu szklanego sześcianu. Początek i koniec każdej nitki znajduje się bądź w wierzchołku, bądź na środku krawędzi, bądź na środku ściany, nigdy jednak na tej samej ścianie. Ile nitek może w ten sposób rozpiąć pająk?

W pewnej klasie dziewczęta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba i wówczas dziewczęta stanowiły 64% uczniów. Ilu chłopców jest w tej klasie?

Dwa prostopadłościenne pudełka mają równe objętości. Jedno z nich ma 1,2 dm wysokości i pole podstawy wynoszące 4,8 m². Obliczyć wysokość drugiego pudełka, jeżeli jego pole postawy jest równe 3,6 dm².

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 101?