LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 8

Czy liczba dwa tysiące szóstekjest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie

Suma cyfr liczby dwa tysiące szóstek wynosi 2000×6 = 12000. Liczba 12000 dzieli się przez 3 ale nie przez 9. Z cechy podzielności przez 3 i 9 wynika, że dwa tysiące szóstek także dzieli się przez 3 ale nie przez 9. Nie może być to kwadrat liczby naturalnej.

Gdyby dwa tysiące szóstek = n2, to n musiałoby się dzielić przez 3, bo kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 nie dzieli się przez 3. Jednak jeśli n = 3k, gdzie k jest liczbą naturalną, to dwa tysiące szóstek = n2 = 9k2.

Odpowiedź

Liczba dwa tysiące szóstek nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.

Weronika Falkowska