Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 18

Pająk rozpina nitki pajęczyny wewnątrz szklanego sześciany. Początek i koniec kazdej nitki znajduje się bądź w środku krawędzi, bądź na środku ściany, bądź w wierzchołku, nigdy jednak na tej samej scianie. Ile nitek może w ten sposób rozpiąć pająk.

Rozwiązanie

Sześcian ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 środków krawędzi

Z jednego wierzchołka można przeprowadzić 7 nitek.
Z jednego środka ściany można przeprowadzić 17 nitek.
Z jednego środka krawędzi można przeprowadzić 11 nitek.

Ze wszystkich 8 wierzchołków można narysować razem 8×7 = 56 nitek
Ze wszystkich 6 środków ścian można narysować razem 6×17 = 102 nitki
Ze wszystkich 12 środków można narysować razem 12×11 = 132 nitek
Razem: 56 + 102 + 132 = 290

Jednak, rysując nitki ze wszystkich wierzchołków, środków krawędzi i środków ścian , każda z nitek byłaby narysowana dwukrotnie bo ma dwa końce. Zatem faktycznie wszystkich takich nitek jest

290/2 = 145

Odpowiedź

Pająk może rozpiąć 145 nitek.

Tomek Nowak