LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 7

Dwie liczby zwierciadlane (jedna powstaje z drugiej, gdy ją odczytać od końca na przykład 347 oraz 743) pomnożono i otrzymano wynik 92565.
Jakie to liczby?

Rozwiązanie

Niech szukana liczba będzie

abc,

gdzie a jest cyfrą setek, b dziesiątek i c jedności. Liczba zwierciadlana jest równa

cba.

Ponieważ wynik

abc×cba kończy się na 5,

więc cyfra jedności jednej z tych liczb jest równa 5. 

 Jeśli np. c = 5 to mamy

ab5 × 5ba = 92565

 Wtedy a = 1, bo gdyby a > 1, to a ł 2 i mielibyśmy

ab5 × 5ba > 200×500 = 100 000

więc wynik byłby większy  od 92565.  

Mamy teraz

1b5 × 5b1 = 92565

Liczba 92565 ma sumę cyfr 27, więc dzieli się przez 9. Liczby zwierciadlane mają tę samą sumę cyfr, więc obie dzielą się przez 3. Przy tym 1 + b + 5  dzieli się przez 3. Stąd  b = 0 lub b = 3 lub b = 6 lub b = 9. Jednak tylko dla b = 6 wynik się zgadza. Zatem b = 6. 

165 × 561 = 92565

 

Odpowiedź

 Są to liczby jest 165 i 561.