LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 8

Oblicz sumę dowolnej liczby dwucyfrowej i liczby lustrzanej. Podaj dwa największe dzielniki otrzymanej liczby. Liczbę lustrzaną otrzymujemy z danej liczby przez przestawienie jej cyfr.

Rozwiązanie

Najpierw napisałam sobie kilka przykładów:

liczba dwucyfrowa liczba lustrzana suma suma w postaci iloczynu liczb pierwszych dwa największe dzielniki
24 42 24+42=66 66=2×3×11 66, 33
98 89 98+89=187 187=11×17 187, 17
67 76 67+76=143 143=11×13 143, 13
12 21 12+21=33 33=3×11 33, 11
36 63 36+63=99 99=3×3×11 99, 33
66 66 66+66=132 132=2×2×3×11 132, 66


Pierwsze co rzuciło mi się w oczy to, że wszystkie te sumy dzielą się przez 11. Żeby sprawdzić czy wszystkie sumy liczb dwucyfrowych lustrzanych dzielą się przez 11, mam do wyboru:
  1. sprawdzić wszystkie możliwości
  2. przeprowadzić jakieś ogólne rozumowanie

Z lenistwa wybieram tę drugą opcję.

Liczba lustrzana do liczby dwucyfrowej ab jest równa ba.

ab + ba = 10×a + b + 10×b + a = 11×a + 11×b = 11×(a + b)

Z tego rachunku widać więcej niż się spodziewałam. Nie tylko to, że suma liczb lustrzanych dzieli się przez 11, ale także przez sumę cyfr danej liczby dwucyfrowej.

Odpowiedź

Oczywiście największym dzielnikiem liczby jest sama ta liczba.

Natomiast drugim co do wielkości dzielnikiem może być:

Weronika Falkowska