LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 10

Jak z kanki z mlekiem, za pomocą dwóch naczyń  o pojemności 5 litrów i 17 litrów, odlać 13 litrów mleka?

Rozwiązanie 10

Część 1

Jeśli do nowego naczynia będziemy x razy wlewać mleko  naczyniem o pojemności 17 litrów i y razy wlewać naczyniem o pojemności 5 litrów to odlejemy 17x + 5y litrów, więc w nowym naczyniu na pewno nie będzie równo 13 litrów.

Część 2

Jeśli będziemy x razy wlewać mleko  naczyniem o pojemności 17 litrów i potem y razy wylewać mleko naczyniem o pojemności 5 litrów to odlejemy litrów 17x - 5y. Trzeba znaleźć takie liczby naturalne x, y aby

17x - 5y = 13

Ponieważ cyfra jedności 5y jest równa 0 lub 5 więc mam dwie możliwości:
  1. 17y kończy się na 3 i 5y kończy się na 0.   ...3 - ...0 = 13
    W tym przypadku  y musi się kończyć na 9, bo tylko 7×9 kończy się na 3. Zatem najmniejsze y musi być równe 9. Wtedy 17×9 = 153.
    Starczy od tego odjąć 140 = 5×28 aby dostać 13.

    17×9 - 5×28 = 13

    Ogólniej

    17×(10n+9) - 5×(34n+28) = 13

  2. 17y kończy się na 8 i 5y kończy się na 5.   ...8 - ...5 = 13
    W tym przypadku  y musi się kończyć na 4, bo tylko 7×4 kończy się na 8. Zatem najmniejsze y musi być równe 4. Wtedy 17×4 = 68.
    Starczy od tego odjąć 55 = 5×11 aby dostać 13.

    17×4 - 5×11 = 13

    Ogólniej

    17×(10n+4) - 5×(34n+11) = 13

Część 3

Jeśli będziemy y razy wlewać mleko  naczyniem o pojemności 5 litrów i potem x razy wylewać mleko naczyniem o pojemności 17 litrów to odlejemy 5y - 17x litrów . Trzeba znaleźć takie liczby naturalne x, y aby

5y - 17x = 13

Ponieważ cyfra jedności 5y jest równa 0 lub 5 więc mam dwie możliwości:
  1. 5y kończy się na 0 i 17x kończy się na 7.    ...0 - ...7 = 13
    W tym przypadku  x musi się kończyć na 1, bo tylko 7×1 kończy się na 3. Zatem najmniejsze x musi być równe 1. Wtedy 17×1 = 17 i 5×y = 30, więc y = 6.

    5×6 - 17×1 = 13

    Ogólniej

    5×(34n+6) - 17×(10n+1) = 13

  2. 5y kończy się na 5 i 17x kończy się na 2.    ...5 - ...2 = 13
    W tym przypadku  y musi się kończyć na 6, bo tylko 7×6 kończy się na 2. Zatem najmniejsze x musi być równe 6. Wtedy 17×6 = 102 i 5×y = 115, więc y = 23.

    5×23 - 17×6 = 13

    Ogólniej

    5×(34n+23) - 17×(10n+6) = 13

Odpowiedź

Zadanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale najszybciej odlejemy 13 litrów mleka wlewając do nowego naczynia 6 razy po 5 litrów i wylewając z niego 1 raz 17 litrów.

5×6 - 17×1 = 13

Łukasz Gajtkowski