Liga Zadaniowa UMK

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 10
Skonstruuj trójkąt mając dane dwa jego kąty oraz odcinek o długości równej obwodowi tego trójkąta.
Rozwiązanie

Rysuję dwa kąty oraz odcinek, który będzie obwodem trójkąta.

Następnie konstruuję dowolny trójkąt z danymi kątami.
Jego boki oznaczam a, b, c.

Nie jest to jeszcze szukamy trójkąt, ale jest do niego podobny ponieważ ma te same kąty. W związku z tym stosunki odpowiednich boków w skonstruowanym trójkącie i w szukanym trójkącie są równe. Boki a, b, c trójkąta "odkładam" wzdłuż linii prostej i dzielę dany odcinek, którego długość ma być obwodem szukanego trójkata, na trzy odcinki w tym samym stosunku co odpowiednie boki trójkata skonstruowanego.
Oznaczam je przez a', b', c'.

Szare odcinki są równoległe, więc z tw. Talesa

a':b':c' = a:b:c

Oczywiście

a'+b'+c' = obwód

Trójkąt o bokach a', b' c' jest więc podobny do trójkata o bokach a, b, c zatem ma te same kąty. Ponadto jego obwód jest ma tę sama wartość co długość danego odcinka. Jest to więc szukany trójkąt.

Łukasz Gajtkowski

Rysuję dwa kąty oraz odcinek, który będzie obwodem trójkąta.
Następnie konstruuję dowolny trójkąt z danymi kątami. Jego boki oznaczam a, b, c.
Nie jest to jeszcze szukamy trójkąt, ale jest do niego podobny ponieważ ma te same kąty. W związku z tym stosunki odpowiednich boków w skonstruowanym trójkącie i w szukanym trójkącie są równe. Boki a, b, c trójkąta "odkładam" wzdłuż linii prostej i dzielę dany odcinek, którego długość ma być obwodem szukanego trójkata, na trzy odcinki w tym samym stosunku co odpowiednie boki trójkata skonstruowanego. Oznaczam je przez a', b', c'.
Szare odcinki są równoległe, więc z tw. Talesa a':b':c' = a:b:c Oczywiście a'+b'+c' = obwód
Trójkąt o bokach a', b' c' jest więc podobny do trójkata o bokach a, b, c zatem ma te same kąty. Ponadto jego obwód jest ma tę sama wartość co długość danego odcinka. Jest to więc szukany trójkąt.