Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Zbyszek pomyślał sobie pewną liczbę. Następnie dodał do niej 5, otrzymaną sumę podzielił przez 3, a otrzymany iloraz pomnożył przez 4. Potem od ostatniego wyniku odjął 6. Gdy tę  różnicę podzielił przez 7, otrzymał liczbę 2. Jaką liczbę pomyślał Zbyszek?

Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co przebył drugiego dnia, a trzeciego dnia przebył mniej niż $\frac{2}{5}$ całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego  dnia?

• Która teraz jest godzina? - zapytał Michał ojca.
  
• A policz: do końca doby pozostało 3 razy mniej czasu niż upłynęło od jej początku.

Która teraz godzina?

W koszu była pewna liczba jabłek. Piotr zjadł $\frac{1}{3}$ wszystkich jabłek i jeszcze 2 jabłka. Paweł zjadł $\frac{1}{4}$ wszystkich jabłek i jeszcze jedno jabłko. Mirek zjadł połowę z pozostałych jabłek. Okazało się wtedy, że w koszu pozostała $\frac{1}{6}$ początkowej liczby jabłek. Ile jabłek było początkowo w koszyku?

Na liczbach $x$, $y$ wykonano działania $x+y$, $x-y$, $x\cdot y$, $x:y$ i otrzymano liczby : 8, -20, -5, 12. Wyznacz liczby $x$, $y$ wiedząc, że kolejność wpisanych liczb nie musi się pokrywać z kolejnością wymienionych poprzednio działań.

Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary $30^{\circ}$ $\text{i }45^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów środkowych opartych na pozostałych łukach.

Czy istnieje trójkąt o wysokościach długości 6 m, 3 cm i 2 cm?

Skonstruuj trójkąt mając dane dwa jego kąty oraz odcinek o długości równej obwodowi tego trójkąta.

Wyznacz cyfrę jedności liczby trzycyfrowej, która w rzędzie dziesiątek ma cyfrę o 2 większą od cyfry jedności, a w rzędzie setek ma cyfrę równą sumie cyfry jedności i cyfry dziesiątek?

Pewien tyran rzekł do rycerza (matematyka młodego):
"Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe $a$, $b$, $c$, które ja pomyślę. Aby ułatwić Ci walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuje byś podał mi trzy liczby $x$, $y$ $z$, ja zaś podam Ci wartość wyrażenia $ax+by+cz.$"
Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Udowodnij, że suma miar kątów przy mnniejszej podstawie trapezu jest większa od sumy miar kątów przy większej jego podstawie.

Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden bok jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?

Dany jest pięciokąt foremny $ABCDE.$ Punkt $F$ leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt $ABF$ jest równoboczny. Oblicz miarę kąta $DEF.$

W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $|AD|=|BC|=|CD|$ przekątna $AC$ jest prostopadła do boku $BC.$ Oblicz miary kątów tego trapezu.

Pewną działkę Piotr przekopie w ciągu 12 godzin, Zbyszek w ciągu 10 godzin, a Mirek w ciągu 8 godzin. W jakim czasie przekopią oni tę działkę pracując razem?

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku $O.$ Wyznacz miary kątów $ACB$, $CAB$, $ACO$, $CAO$ jeśli wiadomo, że kąt $AOB$ ma miarę $45^{\circ}$, a kąt $BOC$ ma miarę $60^{\circ}.$

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych o tej własności, że ich suma jest równa 20 i pierwsza z nich jest większa od dwukrotności drugiej.