LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 13

Liczba naturalna n jest równa sumie pewnych trzech różnych dzielników liczby n - 1. Wyznacz wszystkie takie liczby n.

Rozwiązanie

 Załóżmy, że liczba n spełnia warunki zadania i, że 

n = a' + b' + c',

gdzie a', b', c' są różnymi dzielnikami liczby n - 1 .

Niech .

Iloraz liczby i jej dzielnika da nam również dzielnik tej liczby, więc a, b, c są także dzielnikami liczby n - 1 oraz

.

Poszukajmy teraz liczb a, b, c.

Wynieśmy najpierw n - 1 przed nawias:

i podzielmy obie strony równania przez  n - 1:

Ponieważ  n  > n - 1, więc

 .

Możemy założyć, że 1 < a < b < c < n - 1.

Jeśli a ł 3, to b ł 4 i c ł 5, i stąd  ,  ,  .

Ale wtedy  .

a to jest niemożliwe, bo .


W taki razie jedyną możliwością jest, że a = 2.

Przypuśćmy, że b ł 4.

Wtedy c ł 5   i   

To jest niemożliwe, wiec b = 3.

Załóżmy, że c = 4.

Wtedy  

czyli c może równać się  4.

Załóżmy teraz, że c = 5.

W takim wypadku   .

Wynika z tego, że c może równać się 5.

Zobaczmy czy c może równać się 6.

Dla c = 6  mamy   .

To oznacza, że c nie może się równać 6 i nie może być większe niż 6.

Ostatecznie otrzymaliśmy więc, że a = 2, b = 3, c = 4   lub   a = 2, b = 3, c = 5.

Pozostaje wyznaczyć szukane liczby n.

Odpowiedź:

Wszystkie możliwe liczby n spełniające warunki zadania to 13 i 31.

Michał Janeczek