LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 24

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których iloczyn jest równy iloczynowi pewnych dwóch kolejnych liczb parzystych?

Rozwiązanie

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i niech m będzie liczbą naturalną parzystą. Natępną po n liczbą naturalną jest liczba n + 1. Natępną po m liczbą parzystą jest liczba m + 2.

Musimy sprawdzić czy możliwe jest aby n(n + 1) = m(m + 2).

Wtedy n2 + n = m2 + 2m. Jeśli dodamy do obu stron 1, to otrzymamy, że

n2 + n + 1 = m2 + 2m + 1

n2 + n + 1 = (m + 1)2

Zauważmy, że n2 < n2 + n +1 < (n + 1)2, to znaczy liczba n2 + n +1 stoi między kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc sama nie może być kwadratem liczby naturalnej. Niemożliwe jest więc aby zachodziła równość

n2 + n + 1 = (m + 1)2

Odpowiedź: nie.

Jakub Strześniewski