LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 26

Odkryj zaszyfrowane cyfry w podanym działaniu wiedząc, że te same litery oznaczają te same cyfry, a różnym cyfrom odpowiadają różne litery:

(a) KOT+KOT="TOK
(b) TAK+TKA="AKT
(c) BC-EF="ED" i BA+EC="DFC" i IJ-GH="FB
(d) RAZ+RAZ+RAZ+RAZ="MAT.

Rozwiązanie

Zacznę od odpowiedzi, a dalej podam uzasadnienie:

(a) K="4," O="5," T="9
(b) A="9," T="4," K="5
(c) A="0," B="8," C="3," D="1," E="4," F="2," G="6," H="7," I="9," J="5
(d1)A="0," R="1," Z="2," M="4," T="8"
(d2)A="0," R="2," Z="1," M="8," T="4"
(d3)A="3," R="1," Z="4," M="5," T="2"
(d4)A="9," R="1," Z="8," M="7," T="2"

Przykład a: KOT+KOT="TOK



K T O
+ K O T
suma T O K


Patrząc na prawą kolumnę widzimy, że O nie może być zerem bo T i K muszą być różne. Stąd O+T=10+K i zachowujemy 1 w pamięci.
Z kolumny środkowej widać, że T+O+1(z pamięci)=10+O, skąd T=9. Zatem z kolumny lewej wynika, że K=4 i następnie z prawej kolumny mamy, że O=5.
Odpowiedź
K=4
O=5
T=9

Przykład b: TAK+TKA="AKT

Rozwiązanie przykładu b
TAK+TKA="AKT jest analogiczne do rozwiązania przykładu a
KTO+KOT="TOK


K T O + K O T = T O K
T A K + T K A = A K T



Każda litera z górnego wiersza, odpowiada literze z wiersza dolnego w tej samej kolumnie.
Odpowiedź
A=9
T=4
K=5

Przykład c: BC-EF="ED" i BA+EC="DFC" i IJ-GH="FB

1) BC-EF="ED więc

ED+EF="BC

2) BA+BC="DFC"

3) IJ-GH="FB więc

FB+GH="IJ"

Powyższe dane zapisałem w postaci tabel w formie dodawania pisemnego:

ED+EF="BC BA+BC="DFC FB+GH="IJ "
TABELA 1TABELA 2TABELA 3
  E D
+ E F
  B C
  B A
+ B C
D F C
  F B
+ G H
  I J
  1. Z TABELI 2 widać, że:
    A="0," D="1," 2B="10+F," F jest parzysta, stąd D+F nie przekracza 1+8 czyli D+F jest mniejsze od 10
  2. Z TABELI 1:
    D+F="C," 2E="B," 4E="2B," 4E="10+F" gdzie FÎ{2, 4, 6, 8}
    Możliwości {E="3" i F="2}" oraz {E="4" i F="6}," ale jeśli F="2" to C="3" więc pierwsza mozliwość odpada bo C i E muszą być różne.
    Pozostaje {E="4" i F="6}" skąd C="7. Mamy zatem wyniki:
    A B C D E F G H I J
    0 8 7 1 4 6 ? ? ? ?
  3. Do TABELI 3 łatwo już dobrać pozostałe cyfry 2, 3, 5, 9 do liter G, H, I, J:
    G="2," H="5," I="9," J="3.
    Odpowiedź:
    ED+EF="BC BA+BC="DFC FB+GH="IJ "
    42+46="87 80+87="167 68+25="93 "
    TABELA1TABELA2TABELA3
      E="4 D="1
    + E="4 F="6
      B="8 C="7
      B="8 A="0
    + B="8 C="7
    D="1 F="6 C="7
      F="6 B="8
    + G="2 H="5
      I="9 J="3

    Przykład d: RAZ+RAZ+RAZ+RAZ="MAT

    W tym przypadku łatwo zauważyć, że A="0," ponieważ to jest jedyna cyfra, która pomnożona przez cztery i daje samą siebie. Zatem mamy:

    R0Z+R0Z+R0Z+R0Z="M0T"

    Z tego wynika, że 4.R="M" oraz 4.Z="T." Łatwo zauważyć, że te równania spełniają tylko liczby 2 i 1, ponieważ 3 pomnożone przez 4 daje liczbę dwucyfrową. Więc w tym przypadku mamy dwa rozwiązania:

    102+102+102+102="408" oraz 201+201+201+201="804." Jeśli A jest różne od zera, to sytuacja jest gorsza
    Do tego przypadku można zastosować metodę wykreślanki. Za pomocą symbolu X wykreślamy niemożliwe do przyjęcia wartości.
    Oczywiście R i Z nie mogą być zerami bo R i M oraz Z i T muszą być różne. Wpisujemy X. Ponadto R nie może być za duże, M nie może być za małe. T jest parzyste. Cztery A nigdy nie daje końcówki A, więc cztery Z musi coś dać do pamięci. Stąd Z jest większe od 2. Wpisuję X w odpowiednie miejsca.


     RA Z
     RAZ
     RAZ
    +RAZ
    =MAT
      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    R X     X X X X X X X
    A X X X   X X   X X  
    Z X X X              
    M X X X X X          
    T   X   X     X   X  

    Właściwie niewiele to mi dało, więc muszę spróbować inaczej
    Po dodaniu czterech Z możemy w pamięci zachować co najwyżej 3, więc rachunkowo sprawdzam kiedy
    4 razy A + pamięć daje końcówkę A
    Znajduję tylko trzy możliwości:
    4 razy [A="3]" + [pamięć="1]" daje 10+[A="3] 4 razy [A="6]" + [pamięć="2]" daje 20+[A="6] 4 razy [A="9]" + [pamięć="3]" daje 30+[A="9] Po dalszym sprawdzeniu tych możliwości dochodzę, że pasuje tylko:
    134+134+134+134="532 198+198+198+198="792

    © Copyright by Filip Zieliński 1988-2002