LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 26

Odkryj zaszyfrowane cyfry w podanym działaniu wiedząc, że te same litery oznaczają te same cyfry, a różnym cyfrom odpowiadają różne litery:

(a) KOT+KOT=TOK
(b) TAK+TKA=AKT
(c) BC-EF=ED i BA+EC=DFC i IJ-GH=FB
(d) RAZ+RAZ+RAZ+RAZ=MAT.

Rozwiązanie

Zacznę od odpowiedzi, a dalej podam uzasadnienie:

(a) K=4, O=5, T=9
(b) A=9, T=4, K=5
(c) A=0, B=8, C=3, D=1, E=4, F=2, G=6, H=7, I=9, J=5
(d1)A=0, R=1, Z=2, M=4, T=8
(d2)A=0, R=2, Z=1, M=8, T=4
(d3)A=3, R=1, Z=4, M=5, T=2
(d4)A=9, R=1, Z=8, M=7, T=2

Przykład a: KOT+KOT=TOK



K T O
+ K O T
suma T O K


Patrząc na prawą kolumnę widzimy, że O nie może być zerem bo T i K muszą być różne. Stąd O+T=10+K i zachowujemy 1 w pamięci.
Z kolumny środkowej widać, że T+O+1(z pamięci)=10+O, skąd T=9. Zatem z kolumny lewej wynika, że K=4 i następnie z prawej kolumny mamy, że O=5.

Odpowiedź
K=4
O=5
T=9

Przykład b: TAK+TKA=AKT

Rozwiązanie przykładu b
TAK+TKA=AKT
jest analogiczne do rozwiązania przykładu a
KTO+KOT=TOK



K T O + K O T = T O K
T A K + T K A = A K T



Każda litera z górnego wiersza, odpowiada literze z wiersza dolnego w tej samej kolumnie.
Odpowiedź
A=9
T=4
K=5

Przykład c: BC-EF=ED i BA+EC=DFC i IJ-GH=FB

1) BC-EF=ED

więc

ED+EF=BC

2) BA+BC=DFC

3) IJ-GH=FB

więc

FB+GH=IJ

Powyższe dane zapisałem w postaci tabel w formie dodawania pisemnego:

ED+EF=BC BA+BC=DFC FB+GH=IJ 
TABELA 1TABELA 2TABELA 3
  E D
+ E F
  B C
  B A
+ B C
D F C
  F B
+ G H
  I J
  1. Z TABELI 2 widać, że:
    A=0, D=1, 2B=10+F, F jest parzysta, stąd D+F nie przekracza 1+8 czyli D+F jest mniejsze od 10
  2. Z TABELI 1:
    D+F=C, 2E=B, 4E=2B, 4E=10+F gdzie FÎ{2, 4, 6, 8}
    Możliwości {E=3 i F=2} oraz {E=4 i F=6}, ale jeśli F=2 to C=3 więc pierwsza mozliwość odpada bo C i E muszą być różne.
    Pozostaje {E=4 i F=6} skąd C=7.
    Mamy zatem wyniki:
    A B C D E F G H I J
    0 8 7 1 4 6 ? ? ? ?
  3. Do TABELI 3 łatwo już dobrać pozostałe cyfry 2, 3, 5, 9 do liter G, H, I, J:
    G=2, H=5, I=9, J=3.
    Odpowiedź:
    ED+EF=BC BA+BC=DFC FB+GH=IJ 
    42+46=87 80+87=167 68+25=93 
    TABELA1TABELA2TABELA3
      E=4 D=1
    + E=4 F=6
      B=8 C=7
      B=8 A=0
    + B=8 C=7
    D=1 F=6 C=7
      F=6 B=8
    + G=2 H=5
      I=9 J=3

    Przykład d: RAZ+RAZ+RAZ+RAZ=MAT

    W tym przypadku łatwo zauważyć, że A=0, ponieważ to jest jedyna cyfra, która pomnożona przez cztery i daje samą siebie. Zatem mamy:

    R0Z+R0Z+R0Z+R0Z=M0T

    Z tego wynika, że 4.R=M oraz 4.Z=T. Łatwo zauważyć, że te równania spełniają tylko liczby 2 i 1, ponieważ 3 pomnożone przez 4 daje liczbę dwucyfrową. Więc w tym przypadku mamy dwa rozwiązania:

    102+102+102+102=408 oraz 201+201+201+201=804. Jeśli A jest różne od zera, to sytuacja jest gorsza
    Do tego przypadku można zastosować metodę wykreślanki. Za pomocą symbolu X wykreślamy niemożliwe do przyjęcia wartości.
    Oczywiście R i Z nie mogą być zerami bo R i M oraz Z i T muszą być różne. Wpisujemy X. Ponadto R nie może być za duże, M nie może być za małe. T jest parzyste. Cztery A nigdy nie daje końcówki A, więc cztery Z musi coś dać do pamięci. Stąd Z jest większe od 2. Wpisuję X w odpowiednie miejsca.


     RA Z
     RAZ
     RAZ
    +RAZ
    =MAT
      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    R X     X X X X X X X
    A X X X   X X   X X  
    Z X X X              
    M X X X X X          
    T   X   X     X   X  

    Właściwie niewiele to mi dało, więc muszę spróbować inaczej
    Po dodaniu czterech Z możemy w pamięci zachować co najwyżej 3, więc rachunkowo sprawdzam kiedy
    4 razy A + pamięć daje końcówkę A
    Znajduję tylko trzy możliwości:
    4 razy [A=3] + [pamięć=1] daje 10+[A=3]
    4 razy [A=6] + [pamięć=2] daje 20+[A=6]
    4 razy [A=9] + [pamięć=3] daje 30+[A=9]
    Po dalszym sprawdzeniu tych możliwości dochodzę, że pasuje tylko:
    134+134+134+134=532
    198+198+198+198=792

    © Copyright by Filip Zieliński 1988-2002