LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 11

Rozwiązać następujące rebusy (każdej literze odpowiada cyfra i różnym literom odpowiadają różne cyfry):

(a) B + =MUUU

(b) LIGA = (L + I + G + A)3

(c) MAREK = (M + A + R + E + K)3

Rozwązanie:

(a)

B + BEEE = MUUU

Gdyby E było mniejsze niż 9, to B byłoby równe M. Ale B musi być rózne od M więc E=9 i z kolumny tysięcy w dodawaniu pisemnym widzimy, że U musi być równe 0. Z kolumny jedności widzimy, że B=1. Z kolumny tysięcy mamy M=B+1=2.

Odpowiedź do (a):

B=1, E=9, U=0, M=2:

1+1999=2000

(b)

LIGA = (L + I + G + A)3

  1. Wiemy, że suma cyfr w nawiasie podniesiona do sześcianu musi być czterocyfrowa, ponieważ każdej literze odpowiada jedna cyfra. Patrzymy więc, jakie liczby podniesione do sześcianu dają wynik czterocyfrowy.

    Liczby od 13 do 93 są mniejsze niż czterocyfrowe.

    Liczby 103 do 213 są czterocyfrowe.
    (213 = 9261, a już 223 = 10648)

    Wiemy więc, że sześciany są czterocyfrowe tylko dla liczb naturalnych od 10 do 21.

  2. Każdej literze odpowiada tylko jedna cyfra, czyli każda cyfra musi być inna. Sprawdzamy jakie wyniki mają różne cyfry:

    103=1000 nie

    113=1331 nie

    123=1728 tak

    133=2197 tak

    143=2744 nie

    153=3375 nie

    163=4096 tak

    173=4913 tak

    183=5832 tak

    193=6859 tak

    203=8000 nie

    213=9261 tak

  3. Wiemy, że suma cyfr w nawiasie podniesionych do sześcianu musi być równa cyfrom wyniku. Jedynie 173 i 183 spełniają ten warunek.

    4+9+1+3=17

    5+8+3+2=18

    Odpowiedź do (b):

    Są dwa rozwiązania,

    L=4 I=9 G=1 A=3 czyli 4913=(4+9+1+3)3

    L=5 I=8 G=3 A=2 czyli 5832=(5+8+3+2)3

(c)

MAREK = (M + A + R+ E + K)3

  1. Tak jak w przykładzie b) wiemy, że suma cyfr w nawiasie podniesiona do sześcianu musi być pięciocyfrowa, ponieważ każdej literze odpowiada jedna cyfra.

    Patrzymy więc, jaki przedział liczb podniesionych do sześcianu ma wynik pięciocyfrowy.

    W przedziale od 103 do 213 wynik jest czterocyfrowy.

    W przedziale od 223 do 463 wynik jest pięciocyfrowy.

  2. Teraz w przedziale liczb od 223 do 463 sprawdzamy w jakich wynikach liczby się powtarzają lub jakie sumy cyfr w wyniku nie zgadzają się z liczbą podniesioną do sześcianu i je skreślamy. Wychodzi nam, że jedyną liczbą podniesioną do sześcianu której wynik spełnia powyższe warunki jest 27,
    czyli 273=19683, (1+9+6+8+3)3=19683

    Odpowiedź do (c):

    Jest jedno rozwiązanie: M=1,   A=9   R=6,   E=8,   K=3.

    MAREK=(M+A+R+E+K)3

    19683 = (1+9+6+8+3)3

© by Jakub Gierszał