LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 2
Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi,
przy czym najkrótszy z nich ma długość co najmniej 4 cm.
Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła
ten bok na dwa odcinki.
Wyznacz różnice długości tych odcinków.
Rozwiązanie
Niech x, y oznaczają długości odcinków i przyjmijmy, że x Ł y.
Mamy wyznaczyć różnicę y - x.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy dwa równania:
h2 + (n + 2)2 = y2
h2 + n2 = x2
Odejmując stronami otrzymujemy:
(n + 2)2 - n2 = y2 - x2
Skorzystam teraz ze wzorów skróconego mnożenia:
4n + 4 = (y + x)(y - x)
Wiemy, że x + y = n + 1, więc:
4(n + 1) = (n + 1)(y - x)
Dzielę teraz obie strony równania przez (n + 1):
4 = y - x
Odpowiedź: Różnica długości tych odcinków x i y wynosi 4.
Kamil Brożyna 2a