|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004 |
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas II gimnazjum
|
Tematyka:
1. Podzielność liczb całkowitych.
2. Pole i obwód koła.
3. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
4. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
|
| Zadanie 1 |
W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
|
| Zadanie 2 |
Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym najkrótszy z nich ma długość co najmniej 4 cm. Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa odcinki. Wyznacz różnicę długości tych odcinków.
|
Rozwiązanie Kamila Brożyny
|
| Zadanie 3 |
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.
|
| Zadanie 4 |
| Przekształć do postaci możliwie najprostszej następujące wyrażenie: 
do postaci możliwie najprostszej.
Oblicz wartość tego wyrażenia dla a = -0,01 i b = 0,13.
|
| Zadanie 5 |
Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków nie więcej niż o 1 cm. Oblicz pole tego zbioru oraz długość jego brzegu.
|
| Zadanie 6 |
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 cm i 20 cm. Oblicz długości odcinków na jakie przeciwprostokątną dzieli wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
|
Rozwiązanie Michała Kęder
|
| Zadanie 7 |
Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
|
Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego
|
| Zadanie 8 |
 Średnica AB dzieli koło o środku O na dwie części. Trójkąt ABC jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 16 cm i 12 cm. Na odcinkach AO i OB jako na średnicach skonstruowano półkoła leżące na zewnątrz trójkąta ABC (patrz rysunek). Oblicz pole i obwód zacieniowanego obszaru.
|
Rozwiązanie Agaty Kozińskiej
|
| Zadanie 9 |
Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby n przez 33?
|
| Zadanie 10 |
Liczbę naturalną nazwiemy się dobrą jeśli zapisana jest przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr jest równy 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby naturalne. Wyznacz największą liczbę dobrą.
|
Rozwiązanie Macieja Lewandowkiego
|
| Zadanie 11 |
 W kwadracie o boku długości 10 cm na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i o środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.
|
Rozwiązanie Iwony Lis
|
| Zadanie 12 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:
|
| Zadanie 13 |
Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.
|
Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej
|
| Zadanie 14 |
Oblicz:
|
| Zadanie 15 |
Oblicz wartość wyrażenia (x + 1) × (x + 2) × (x + 3) × (x + 4)
dla 
|
Rozwiązanie Michała Pośpiecha
|
| Zadanie 16 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
|
| Zadanie 17 |
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm.
Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło o promieniu 4 cm.
Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.
|
| Zadanie 18 |
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
|
Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej
|
| Zadanie 19 |
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
|
Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza
|
| Zadanie 20 |
Grupa osób wyruszyła z miasta i szła razem aż do najbliższego skrzyżowania. Na skrzyżowaniu co najmniej trzecia część grupy poszła w prawo oraz więcej niż 30% grupy poszła w lewo. Pozostałe osoby, które stanowiły więcej niż  całości, wróciły do miasta. Uzasadnij, że w grupie były co najmniej 173 osoby.
|
| Zadanie 21 |
Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.
|