LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004


Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Podzielność liczb całkowitych.
2. Pole i obwód koła.
3. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
4. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
Zadanie 1
W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.

Zadanie 2
Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym najkrótszy z nich ma długość co najmniej 4 cm. Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa odcinki. Wyznacz różnicę długości tych odcinków.

Rozwiązanie Kamila Brożyny

Zadanie 3
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Zadanie 4
Przekształć do postaci możliwie najprostszej następujące wyrażenie:

do postaci możliwie najprostszej.
Oblicz wartość tego wyrażenia dla a = -0,01 i b = 0,13.

Zadanie 5
Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków nie więcej niż o 1 cm. Oblicz pole tego zbioru oraz długość jego brzegu.

Zadanie 6
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 cm i 20 cm. Oblicz długości odcinków na jakie przeciwprostokątną dzieli wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
Rozwiązanie Michała Kęder

Zadanie 7
Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego

Zadanie 8
Średnica AB dzieli koło o środku O na dwie części. Trójkąt ABC jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 16 cm i  12 cm. Na odcinkach AO i OB jako na średnicach skonstruowano półkoła leżące na zewnątrz trójkąta ABC (patrz rysunek). Oblicz pole i obwód zacieniowanego obszaru.

Rozwiązanie Agaty Kozińskiej

Zadanie 9
Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby n przez 33?

Zadanie 10
Liczbę naturalną nazwiemy się dobrą jeśli zapisana jest przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr jest równy 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby naturalne. Wyznacz największą liczbę dobrą.
Rozwiązanie Macieja Lewandowkiego

Zadanie 11
W kwadracie o boku długości 10 cm na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i o środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.

Rozwiązanie Iwony Lis

Zadanie 12
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:


Zadanie 13
Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.

Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej

Zadanie 14
Oblicz:


Zadanie 15
Oblicz wartość wyrażenia  (x + 1) × (x + 2) × (x + 3) × (x + 4)  dla 

Rozwiązanie Michała Pośpiecha

Zadanie 16
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:


Zadanie 17
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm.
Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło o promieniu 4 cm.
Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.

Zadanie 18
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6. 

Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej

Zadanie 19
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza

Zadanie 20
Grupa osób wyruszyła z miasta i szła razem aż do najbliższego skrzyżowania. Na skrzyżowaniu co najmniej trzecia część grupy poszła w prawo oraz więcej niż 30% grupy poszła w lewo. Pozostałe osoby, które stanowiły więcej niż 4/11 całości, wróciły do miasta. Uzasadnij, że w grupie były co najmniej 173 osoby.

Zadanie 21
Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.