Zadania przygotowawcze
do etapu II-go dla uczniów klas II gimnazjum

W kwadracie $ABCD$ poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach $A\text{ i }B$ i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.

Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym najkrótszy z nich ma długość co najmniej 4 cm. Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa dcinki. Wyznacz różnicę długości tych odcinków.

W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod  kątem prostym.

Przekształć następujące wyrażenie $$\frac{2b+a-\frac{4a^2-b^2}{a}}{(b-a)(b^2+3ab)}:\frac{a^2-b^2}{a^3b-2a^2b^2+ab^3}$$ do postaci możliwie najprostszej. Oblicz wartość tego wyrażenia dla $a = -0,01$ $\text{i } b = 0,13.$

Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków niewięcej niż o 1 cm. Oblicz pole tego zbioru oraz długość jego brzegu.

Zbiór liczb naturalnych $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dzielimy na dwa niepuste i rozłączne podzbiory tak, by iloczyn elementów pierwszego podzbiory był podzielny przez iloczyn elementów drugiego podzbioru (na przykład, $I = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}, II = \{2, 6, 10\}$). Dla każdego podziału obliczamy iloraz tych iloczynów. Jaką najmniejszą wartość może mieć taki iloraz?

Udowodnij, że jeśli liczba naturalna $n$ jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.

Pewna liczba naturalna $n$ przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby $n$ przez 33?

Liczbę naturalną nazywamy dobrą jeśli zapisana jest przy pomocy różnych cyfr i iloczyn tych cyfr jest równy 360. Podaj co najmniej dwie takie liczby naturalne. Wyznacz największą liczbę dobrą.

Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenie: $$ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)\cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right)\cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right).$$

Uzasadnij, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba $p^4 - 1$ jest podzielna przez 240.

Oblicz:

1. $\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\left(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}\right)}$
2. $(4+\sqrt{15})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{4-\sqrt{15}}$
3. $\left( \frac{2}{\sqrt{3}-1}+ \frac{3}{\sqrt{3}-2}+ \frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot (\sqrt{3}+5)^{-1}$
4. $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2002^2}\right)$

Oblicz wartość wyrażenia $(x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x + 4)$ $\text{dla }x=\frac{\sqrt{7}-5}{2}.$

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:

1. $\frac{1}{b(abc+a+c)} -\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}} :\frac{1}{a+\frac{1}{b}},$
2. $\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-3}-b^{-3}} :\frac{a^2b^2}{(a+b)^2-3ab} \cdot \left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^{-1}.$

Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka poprowadzono koło o promieniu 4 cm. Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Grupa osób wyruszyła z miasta i szła razem aż do najbliższego skrzyżowania. Na skrzyżowaniu co najmniej trzecia część grupy poszła w prawo oraz więcej niż  30% grupy poszła w lewo. Pozostałe osoby, które stanowiły więcej niż $\frac{4}{11}$ całości, wróciły do miasta. Uzasadnij, że w grupie były co najmniej 173 osoby.

Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.