LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie nr 19

Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Rozwiązanie

Najmniejsza suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 2 , a największa 27.

Tylko liczba 999, jako jedyna, ma sumę cyfr 27 i dzieli się przez 27, a więc dzieli się przez sumę swoich cyfr.

Jeśli zatem kolejne 18 liczb trzycyfrowych zawiera liczbę 999, to warunek zadania jest spełniony.

Załóżmy, że kolejne 18 liczb trzycyfrowych nie zawiera liczby 999.

Zauważmy, że wśród 18 kolejnych liczb przynajmniej dwie liczby na pewno dzielą się przez 9, z których jedna jest parzysta, a druga nieparzysta, ponieważ jeśli jedna jest postaci 9·n, to następna musi być postaci 9·(n + 1). Wtedy n albo n + 1 jest liczbą parzystą. Ta właśnie podzielna przez 9 liczba parzysta na pewno dzieli się przez sumę swoich cyfr, bo suma jej cyfr wynosi albo 9 albo 18 (nie może równać się 27, bo rozważamy liczby mniejsze od 999). Jeśli nawet suma cyfr równa się 18, to liczba ta dzieli się przez 18 bo dzieli się przez 9, co wynika z cechy podzielności przez 9, i dzieli się przez 2, bo jest parzysta.

Paweł Rzymyszkiewicz