LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II 
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 13

Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p⁴-1 jest podzielna przez 240

Rozwiązanie

Po rozłożeniu liczby 240 na czynniki pierwsze otrzymujemy:

240=2*2*2*2*3*5=2⁴*3*5

Pokazujemy, że p⁴-1 dzieli się przez 2⁴ , później że p⁴-1 dzieli się przez 3, a na końcu że p⁴-1 dzieli się przez 5

1.   Udowadniamy, że p⁴-1 dzieli się przez 2⁴

p⁴-1=p⁴-1²=(p²+1)(p²-1)=(p²-1)(p+1)(p-1)

P jest liczbą pierwszą większą od 5, a więc jest liczbą nieparzystą. Wtedy p² także jest liczbą nieparzystą. Jeżeli do liczby nieparzystej dodamy 1, otrzymamy liczbę parzystą. Liczby 'p-1' i 'p+1' są kolejnymi liczbami parzystymi, a więc jedna z nich dzieli się przez 4, gdyż wśród każdych kolejnych dwóch liczb parzystych jedna dzieli się przez 4. Otrzymujemy więc:

(2|p²+1, 2|p+1, 4|p-1) v (2|p²+1, 4|p+1, 2|p-1)

a więc 2*2*4|(p²+1)(p+1)(p-1)

czyli 2⁴|p⁴-1

2.   Udowadniamy, że p⁴-1 dzieli się przez 3

Reszty z dzielenia przez 3 mogą być 0, 1 lub 2 ponieważ w innych przypadkach dana liczba jest podzielna przez 3

1° Reszta z dzielenia przez 3 równa 0

Reszta z dzielenia przez 3 nie może być 0 ponieważ każda liczba większa od 5 podzielna przez 3 nie jest liczbą pierwszą a p jest liczbą pierwszą większą od 5

2° Reszta z dzielenia przez 3 równa 1

Lemat 1

Iloczyn dwóch liczb dających resztę 1 przy dzieleniu przez 3 też daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, gdyż:

dla dowolnych liczb naturalnych m i n

(3m+1)(3n+1)=9*m*n+3m+3n+1=3(3mn+m+n)+1

p dzielone przez 3 daje resztę 1

p*p dzielone przez 3 daje resztę 1 (korzystamy z lematu 1)

p²* p ² dzielone przez 3 daje resztę 1 gdyż jest to iloczyn dwóch liczb dających resztę 1 z dzielenia przez 3

p⁴ daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, a więc

3|p⁴-1

3° Reszta z dzielenia przez 3 równa 2

Niech p będzie postaci p=3k+2, gdzie k należy do liczb naturalnych

p²= (3k+2)²=9k²+12k+4=9k²+12k+3+1=3(3k²+4k+1)+1

p² daje resztę 1 z dzielenia przez 3

p²* p ² dzielone przez 3 daje resztę 1 (korzystamy z udowodnionego wyżej lematu 1)

p⁴ daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, a więc:

3/p⁴-1

3.   Udowadniamy, że p⁴-1 dzieli się przez 5

p przy dzieleniu przez 5 daje reszty 0, 1, 2, 3, 4,

1° Reszta z dzielenia przez 5 równa 0

Reszta z dzielenia przez 5 nie może być równa 0 ponieważ każda liczba większa od 5 podzielna przez 5 nie jest liczbą pierwszą, a p jest liczbą pierwszą większą od 5

2° reszta z dzielenia przez 5 równa 1

Lemat 2

Iloczyn dwóch liczb naturalnych dających resztę 1 przy dzieleniu przez 5 daje także przy dzieleniu przez 5 resztę 1

Dowód

Dla dowolnych liczb naturalnych m i n otrzymujemy:

(5m+1)(5n+1)=25*m*n+5m+5n+1=5(5mn+m+n)+1

p daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5

p² daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5 (korzystamy z lematu 2)

p²*p²daje resztę 1 z dzielenia przez 3

p⁴ daje resztę 1 z dzielenia przez 5, a więc

5|p⁴-1

3° Reszta z dzielenia przez 5 równa 2

Niech p jest postaci p=5k+2 gdzie k jest liczbą naturalną

p²=(5k+2)²=25k²+20k+4=5(5k²+4k)+4

Lemat 3

Iloczyn dwóch liczb dających reszty 4 z dzielenia przez 5 daje resztę 1

Korzystając z lematu 3: p⁴daje więc resztę 1 przy dzieleniu przez 5,a więc

5|p⁴-1

4° Reszta z dzielenia przez 5 równa 3

Niech p będzie postaci p=5k+3 gdzie k jest liczbą naturalną

p²=(5k+3)²=25k²+30k+9=5(5k²+6k+1)+4

p²daje więc resztę 4 z dzielenia przez 5

Korzystając z lematu 3 otrzymujemy, że p⁴ daje resztę 1 z dzielenia przez 5, a więc

5|p⁴-1

5° Reszta z dzielenia przez 5 równa 4

Z lematu 3 otrzymujemy, że p² daje resztę 1 z dzielenia przez 5

p²*p² daje resztę 1 z dzielenia przez 5 (korzystając z lematu 2)

a więc 5|p⁴-1

Udowodniliśmy, że dla p gdzie p jest liczbą pierwszą większą od 5 jest:

2⁴|p⁴-1 i 3|p⁴-1 i 5|p⁴-1, a więc:

240|p⁴-1

Odpowiedź

Jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5 to p⁴-1 jest podzielne przez 240

Magda Nieżurawska