LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 3

Niech s(n) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej n. Czy istnieje liczba naturalna n, dla której zachodzi równość:

  1. n+s(n)+s(s(n))=2003

  2. n+s(n)+s(s(n))+s(s(s(n)))=2003

Rozwiązanie

Przykład a.    n+s(n)+s(s(n))=2003

Każda liczba naturalna dzieli się przez trzy, albo zostawia resztę przy tym dzieleniu 1, 2

Pierwszy przypadek: gdy n dzieli się przez 3.

Jeśli liczba jest podzielna przez 3
to suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Jeżeli liczba n dzieli się przez 3, liczby s(n) i s(s(n) także dzielą się przez 3, a więc to n+s(n)+s(s(n))dzieli się przez 3.
Ponieważ liczba 2003 nie dzieli się przez 3, więc równanie n+s(n)+s(s(n))=2003 nie ma rozwiązania.

Drugi przypadek: gdy n daje resztę 1 z dzielenia przez 3.

Jeśli liczba jest daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3
to suma jej cyfr daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.

Jeśli przyjmiemy, że liczba n przy dzieleniu przez trzy daje resztę 1 to jej suma cyfr po podzieleniu przez trzy daje też resztę 1. Więc składniki s(n) i s(s(n) dają resztę 1 przy dzieleniu przez 3. Mamy trzy składniki więc po dodaniu tych reszt otrzymujemy 3, a więc to n+s(n)+s(s(n))dzieli się przez 3. Ponieważ liczba 2003 nie dzieli się przez 3, więc równanie n+s(n)+s(s(n))=2003 nie ma rozwiązania.

Trzeci przypadek: gdy n daje resztę 2 z dzielenia przez 3.

Jeśli liczba jest daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3
to suma jej cyfr daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3.

Jeśli przyjmiemy, że liczba n przy dzieleniu przez trzy daje resztę 2 to jej suma cyfr po podzieleniu przez trzy daje też resztę 2. Więc składniki s(n) i s(s(n) dają resztę 2 przy dzieleniu przez 3. Mamy trzy składniki więc po dodaniu tych reszt otrzymujemy 6, a więc to n+s(n)+s(s(n))dzieli się przez 3. Ponieważ liczba 2003 nie dzieli się przez 3, więc równanie n+s(n)+s(s(n))=2003 nie ma rozwiązania.

Podsumowując:

Skoro każda liczba naturalna przy dzieleniu przez trzy daje resztę 0, 1, 2 więc nie istnieje liczba naturalna, która spełniała by to równanie.

Przykład b.    n+s(n+s(s(n))+s(s(s(n))=2003

Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez dziewięć daje jedną z reszt: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 i taką samą resztę daje suma jej cyfr przy dzieleniu przez 9.

Wynika stąd, że liczby n, s(n), s(s(n)) i s(s(s(n))) dają te same reszty z dzielenia przez 9. Suma tych reszt musi dawać liczbę, która z dzielenia przez 9 daje resztę 5
bo 2003 daje resztę 5 z dzielenia przez 9.

Rozważmy wszystkie możliwości reszt:

Reszta z dzielenia
n przez 9		 Suma reszt
n, s(n), s((s)n), s(s(s(n))) 		Reszta z dzielenia
n+s(n)+s((s)n)+s(s(s(n))) przez 9
11+1+1+1=4 4
22+2+2+2=8 8
33+3+3+3=12 3
44+4+4+4=16 7
55+5+5+5=20 2
66+6+6+6=24 6
77+7+7+7=28 1
88+8+8+8=32 5

Należy więc szukać rozwiązań wśród liczb naturalnych n, które z dzielenia przez 9 dają resztę 8.

Pozbierajmy pewne fakty: Szukamy więc liczb n, które z dzielenia przez 9 dają resztę 8 i są między 1955, a 1971.

Liczby n muszą należeć zatem do zbioru {1961, 1970}.

Sprawdzamy czy n=1961 spełnia równanie n+s(n)+s(s(n))+s(s(s(n))=2003.

1961+s(19761)+s(s(1961))+s(s(s(1961))= 1961+17+8+8=1994 ą 2003

A więc liczba 1961 nie spełnia tego równania.

Sprawdzamy czy n=1970 spełnia równanie n+s(n)+s(s(n))+s(s(s(n))=2003.

1970+s(1970)+s(s(1970))+ s(s(s(1970)))=1970+17+8+8=2003

Liczba 1970 n spełnia równanie.

Odpowiedź

Żadna liczba nie spełnia równania a.
Jedyną liczbą, która spełnia równanie b jest 1990.

Magda Ekert