LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003

Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum        
Zadanie 1
Na ile sposobów liczbę 2003 można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych?
Zadanie 2
Oblicz:
  1. ,
  2. .


Rozwiązanie Kamila Brożyny

Zadanie 3
Niech s(n) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej n. Czy istnieje liczba naturalna n, dla której zachodzi równość:
  1. n + s(n) + s(s(n)) = 2003

  2. n + s(n) + s(s(n)) +s(s(s(n)))= 2003
Rozwiązanie Magdy Ekert

Zadanie 4
Napisać pięć następnych liczb zgodnie z wyznaczoną regułą:

1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, ...


Zadanie 5
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie .

Rozwiązanie Mateusza Grupy

Zadanie 6
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie x + y + z = x×y×z.

Rozwiązanie Michała Kęder

Zadanie 7
Rozwiązać równanie:
  1. w liczbach naturalnych,
  2. w liczbach całkowitych.
Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego

Zadanie 8
Wyznaczyć wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Rozwiązanie Agaty Kozińskiej

Zadanie 9
Wyznaczyć wszystkie liczby, których pierwszą cyfrą jest dwójka i które po przeniesieniu dwójki na koniec zmniejszą się dwa razy.

Zadanie 10
Pierwszą cyfrą pewnej liczby jest 7. Cyfrę tę przeniesiono na koniec i wówczas otrzymano liczbę dwukrotnie mniejszą. Co to za liczba?

Rozwiązanie Macieja Lewandowskiego

Zadanie 11
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n tak, aby liczba była liczbą całkowitą.

Rozwiązanie Iwony Lis

Zadanie 12
Wyznaczyć wszystkie możliwe czwórki liczb naturalnych o następującej własności: iloczyn dowolnych trzech z nich powiększony o jeden jest podzielny przez czwartą z nich.

Rozwiązanie Mateusza Mickiewicza

Zadanie 13
Na płaszczyźnie dane są trzy punkty nie leżące na jednej prostej. Ile istnieje równoległoboków, których trzy wierzchołki pokrywają się z danymi punktami?

Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej

Zadanie 14
W przestrzeni dane są cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie. Ile istnieje równoległościanów, których cztery wierzchołki pokrywają się z danymi punktami?

Rozwiązanie Marcina Pezdy

Zadanie 15
Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany trójkąt na dwa wielokąty o równych polach.

Zadanie 16
Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany czworokąt na dwa wielokąty o równych polach.

Zadanie 17
Wewnątrz czworokąta wypukłego znaleźć punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

Rozwiązanie Artura Rasztubowicza

Zadanie 18
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Dla punktu X leżącego na przeciwprostokątnej AB niech M i N będą takimi punktami leżącymi na przyprostokątnych AC i BC odpowiednio, że XM ^ AC i XN ^ BC. Przy jakim położeniu punktu M
  1. odcinek MN jest najkrótszy?
  2. pole prostokąta XMCN jest największe?
Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej

Zadanie 19
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wyznaczyć miary kątów trójkąta ABC jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza

Zadanie 20
W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C wysokość i środkową. Podzieliły one kąt wewnętrzny przy wierzchołku C na trzy równe kąty. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC.

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej
w roku szkolnym 2003/2004.