Liga zadaniowa UMK w Toruniu 2002/2003 matematyka

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększają się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Rozwiązanie:

Rozważamy...

Liczbę sześciocyfrową możemy zapisać w postaci:

1000×x + y

gdzie

x jest dowolną liczbą 3 cyfrową (x jest liczbą tysięcy),
y jest liczbą od 0 do 999 (y jest liczba jedności).

Na przykład:

236487 = 236 ×1000 + 487

W tym przypadku x = 236, y = 487.

Liczba ta nie spełnia oczywiście warunku zadania, bo gdy przestawimy trzy ostatnie cyfry na początek to otrzymamy liczbę

487235 = 487×1000 + 236

487235 ą 6× 236487

1000×487 + 236 ą 6×(1000×236 + 487)

Liczba 1000×x + y ma spełniać warunek:

1000×y + x = 6×(1000×x + y)

Możemy to równanie sprowadzić do prostszej postaci:

1000×y + x = 6000×x + 6y

994×y = 5999×x

2×7×71×y = 7×857×x

2×71×y = 857×x

857 jest liczbą pierwszą, więc y musi być jej wielokrotnością.

Jedyną wielokrotnością niewiększą od 999 liczby 857 jest ta sama liczba 857.

Stąd

y = 857 oraz x = 142.

Szukaną liczbą jest więc

142857.

Odpowiedź:

Jest tylko jedna taka liczba sześciocyfrowa, która zwiększa się sześciokrotnie gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na poczatek i jest to liczba 142857.

Agata Kozińska