LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 12

Wyznaczyć wszystkie możliwe czwórki liczb naturalnych o następującej własności: iloczyn dowolnych trzech z nich powiększony o jeden jest podzielny przez czwartą z nich.

Rozwiązanie

Niech a, b, c, d, gdzie a Ł b Ł c Ł d, oznacza czwórkę liczb naturalnych o podanej własności.
Wówczas liczby:

, , ,

są naturalne, a więc ich iloczyn jest też liczbą naturalną.
Po przemnożeniu tych liczb otrzymujemy wynik:

Wynika stąd, że liczba musi być naturalna.

Zauważmy jeszcze, że największym wspólnym dzielnikiem dowolnych dwóch liczb spośród a, b, c, d jest 1.

Dla przykładu pokażę, że NWD(a,d)=1.

Niech  = k. Wtedy abc + 1 = kd, więc kd - abc = 1.
Jeśli więc jakaś liczba naturalna n jest wspólnym dzielnikiem liczb a i d, to liczba kd - abc też dzieli się przez n czyli 1 dzieli się przez n. Jedynym naturalnym dzielnikiem liczby 1 jest 1, więc n = 1.

Zadanie sprowadza się więc do wskazania liczba naturalnych a, b, c, d takich, że:
  1. a Ł b Ł c Ł d;

  2. NWD(a,b) = NWD(a,c) = NWD(a,d) = NWD(b,c) = NWD(b,d) = NWD(c,d) = 1;

  3. Liczba jest naturalna.
  1. Pokażę, że a < 3.
    Gdyby a ł 3, to ze względu na własność II, wszystkie liczby a, b, c, d musiałyby być parami różne, więc mielibyśmy, że

    a ł 3, b ł 4, c ł 5, d ł 6.

    Wtedy jednak

    .
  2. Pokażę, że a ą 2.
    Gdyby a = 2, to ze względu na własność II, wszystkie liczby a, b, c, d musiałyby być parami różne, i liczby b, c, d musiałyby być nieparzyste, więc mielibyśmy, że

    a = 2, b ł 3, c ł 5, d ł 7.

    Wtedy

    Więc jedyną możliwością byłoby, że:

     ,

    stąd:

     ,

    ale

     ,

    a już

     .

  3. Wiemy już więc, że a = 1.

    Zatem liczba  musi być naturalna.

  4. Pokażę, że b = 1.

    Jeśli b ł 2, to

    1. dla b = 2, c = 3, d = 5 mamy:

    2. dla b = 2, c ł 5, d ł 7 mamy:

    3. dla b ł 3, c ł 4, d ł 5 mamy:

  5. Teraz wiadomo już, że a = 1 i b = 1.

    Zatem liczba musi być naturalna.

  6. Dla c = 1 mamy:

    ,

    więc d = 1 lub d = 2.

  7. Dla c = 2 mamy:

    ,

    więc d = 3.

  8. Dla c ł 3 mamy:

    a więc więcej rozwiązań już nie ma.

Odpowiedź:

Jedyne rozwiązania to:
  1. 1, 1, 1, 1;
  2. 1, 1, 1, 2;
  3. 1, 1, 2, 3.

Mateusz Mickiewicz