LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 5

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie:    1/x + 1/y = 1/2003 .

Rozwiązanie:

1/x + 1/y = 1/2003

Jak widać musi być spełniony następujący warunek:

x, y > 0

ponieważ mają to być liczby naturalne i nie można dzielić przez 0.   (!)

Doprowadźmy ułamki po lewej stronie do wspólnego mianownika:

Doprowadzenie do wspólnego mianownika    / × xy

x + y = xy/2003    / znak mnożenia 2003

2003(x+y) = xy    / - 2003(x+y)

xy-2003(x+y) = 0

xy-2003x-2003y = 0    / + 2003 × 2003

xy-2003x-2003y+2003 × 2003 = 2003 × 2003

x(y-2003)-2003(y-2003) = 2003 × 2003

(y-2003)(x-2003) = 2003 × 2003

2003 jest liczbą pierwszą, a więc mogą być tylko 3 możliwości:
  1. y-2003 = 2003 i x-2003 = 2003

    y = 4006 i x = 4006

  2. y-2003 = 1 i x-2003 = 2003 × 2003

    y = 2004 i x = 2003 + 20032

  3. y-2003 = 2003 × 2003 i x-2003 = 1

    y = 2003 + 20032 i x = 2004

Mateusz Grupa