LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 19

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wyznaczyć miary kątów trójkąta ABC jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
  1. Trójkąty AZS, AXS, BXS, BYS, CSY są przystające, więc

    a = a2 = a6 = a7 = a5

  2. AD jest dwusieczną kąta BAC więc

    a3 = a + a2 = a + a = 2a

  3. Trójkąt ASC jest równoramienny, więc

    a4 = a2 + a3 = a + 2a = 3a

Rysunek przedstawia się teraz nastepująco:

  1. Suma kątów w trójkącie (ABC) wynosi 180°, więc

    10a = 180°

    a = 18°

    |ĐBAC| = 4a = 4×18° = 72°

    |ĐABC| = 2a = 2×18° = 36°

    |ĐBCA| = 4a = 4×18° = 72°

Odpowiedź

Miary kątów trójkąta ABC wynoszą 36°, 72° i 72°.

Paweł Rzymyszkiewicz