LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
PREZENT WAKACYJNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 17

Wewnątrz czworokąta wypukłego znaleźć punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Pokażę, że rozwiązaniem jest punkt przecięcia się przekątnych czworokąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Niech S będzie punktem przecięcia się przekątnych czworokąta ABCD
oraz niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz tego czworokąta różnym od S.
Z nierówności trójkąta:

x+z > a+c
t+y > b+d

Stąd:   x+z+t+y > a+c+b+d

Oznacza to, że suma odległości punktu S od wierzchołków jest mniejsza niż suma odległości punktu P od wierzchołków czworokąta.

Artur Rasztubowicz