Liga zadaniowa UMK w Toruniu 2003/2004, matematyka

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 3

Rozwiąż rebus

15×DWA="6×PIĘĆ. gdzie mamy iloczyn liczb 5 i DWA oraz 6 i PIĘĆ, przy czym w liczbach DWA i PIĘĆ nie występują cyfry 1, 5 i 6.

Rozwiązanie

Każdej literze podporządkowana jest inna cyfra

15×DWA="6×PIĘĆ" /:3

5×DWA="2×PIĘĆ

Ostatnia cyfra liczby 5×DWA może się równać 0 lub 5 (tylko takie cyfry końcowe daje mnożenie przez 5). A więc ostatnia cyfra liczby 2×PIĘĆ także musi być 0 lub 5. 5 być nie może, ponieważ liczba 2×PIĘĆ jest parzysta. Zostaje więc 0. Wynika z tego, że Ć="0. Nasze równanie sprowadza się do postaci:

5×DWA="2×PIĘ0
5×DWA="2×PIĘ×10   /:5
DWA="4×PIĘ
Wśród niewiadomych liter nie występują cyfry 1, 5, 6 i 0 (bo Ć = 0)
Gdyby P było większe niż 2, to P ≥ 3, więc 4×PIĘ ≥ 4×300 = 1200 >DWA.
Zatem P = 2 i mamy teraz:

DWA="4×2IĘ Ponieważ I nie może być równe ani 0, ani 1, ani 2 więc I ≥ 3 i stąd:
DWA = 4×2IĘ ≥ 4×230 = 920.
Stąd D = 9 (bo D większe już być nie może). Mamy więc:
9WA="4×2IĘ
Mamy jeszcze do dyspozycji cyfry: 3, 4, 7, 8.

Jeśli Ę = 3 to A = 2  - niemożliwe.
Jeśli Ę = 4 to A = 6  - niemożliwe.
Jeśli Ę = 8 to A = 2  - niemożliwe.
Jeśli Ę = 7 to A = 8  - to jest jedyna możliwość.
Stąd A = 8 i Ę = 7. Mamy teraz do dyspozycji tylko cyfry 3 i 4 oraz wiemy, że:
9W8="4×2I7

jeśli I = 4, to 4×2I7 = 4×247 = 988 - niemożliwe (bo wtedy W = 8, ale już A = 8).
jeśli I = 3, to 4×2I7 = 4×237 = 948, a więc W = 4.
Stąd I = 3 i W = 4
Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem rebusu są liczby: D="9,W=4," A="8," P="2," I="3," Ę="7" i Ć="0.
Magda Ekert