Zadanie 1
Pewną pracę Piotr mógłby wykonać samodzielnie w ciągu 10 godzin. Tę samą pracę Paweł wykonałby w ciągu 15 godzin. W jakim czasie wykonaliby tę pracę gdyby pracowali razem?
Zadanie 2
Znaleźć liczbę naturalną większą od 400 i jednocześnie mniejszą od 500 i taką, że suma jej cyfr jest równa 9 oraz stanowi ona $\frac{47}{36}$ liczby zapisanej tymi samymi cyframi co szukana liczba tylko w porządku odwrotnym.
Zadanie 3
Rozwiązać rebus z mnożeniem
$15\cdot \text{DWA}= 6 \cdot \text{PIĘĆ}$
gdzie mamy iloczyn liczb 15 i DWA oraz 6 i PIĘĆ, przy czym w liczbach DWA i PIĘĆ nie występują cyfry 1, 5 i 6.
Zadanie 4
Oblicz:
- $\frac{10^{42}\cdot 7^{41}-10\cdot 5^{43}\cdot 14^{40}}{2^{42}\cdot 35^{40}+10^{40}\cdot 7^{41}}.$
- $\frac{6^{22}\cdot 5^{21}-6\cdot 3^{20}\cdot 10^{20}}{2^{22}\cdot 15^{20}+6^{20}\cdot 5^{21}}.$
Zadanie 5
Oblicz:
- $\frac{\sqrt[4]{7\cdot \sqrt[3]{54}+15\cdot \sqrt[3]{128}}}{\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{162}}},$
- $ \frac{5\cdot4^{15}\cdot 9^{9}-4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}}{5\cdot 2^{28}\cdot 6^{19}-7\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}},$
- $2\cdot \sqrt{160\cdot \sqrt{12}}+3\cdot \sqrt{20\cdot \sqrt{48}}-4\sqrt[4]{75}-4\cdot \sqrt{60\cdot \sqrt{27}},$
- $\left(\sqrt{(\sqrt{2}-3)^{2}}-\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}\right)^2,$
- $5\cdot \sqrt[3]{6\cdot \sqrt{32}}-\sqrt[3]{9 \cdot\sqrt{162}}-\sqrt[6]{18}+2\cdot \sqrt[3]{75\cdot \sqrt{50}},$
- $\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}},$
- $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}},$
- $\frac{1}{3+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+2},$
- $\frac{5-2\sqrt{6}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})\cdot(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})},$
- $(4+\sqrt{15})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{6})\cdot(4+\sqrt{15}),$
- $\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right)\cdot(\sqrt{3}+5)^{-1}.$
Rozwiązanie 5a Pawła Michała Kędera
Rozwiązanie 5b Marcina Kopczyńskiego
Rozwiązanie 5c Agaty Kozińskiej
Rozwiązanie 5e Macieja Lewandowskiego
Rozwiązanie 5f Maćka Szczepkowskiego
Rozwiązanie 5h Magdy Nieżurawskiej
Rozwiązanie 5i Marcina Pezdy
Rozwiązanie 5k Mikołaja Pszczółki
Rozwiązanie 5b Marcina Kopczyńskiego
Rozwiązanie 5c Agaty Kozińskiej
Rozwiązanie 5e Macieja Lewandowskiego
Rozwiązanie 5f Maćka Szczepkowskiego
Rozwiązanie 5h Magdy Nieżurawskiej
Rozwiązanie 5i Marcina Pezdy
Rozwiązanie 5k Mikołaja Pszczółki
Zadanie 6
Połowa pasażerów, który wsiedli do tramwaju na przystanku początkowym zajęła miejsca siedzące. Po pierwszym przystanku liczba pasażerów zwiększyła się o 8%. Ilu pasażerów wsiadło na przystanku początkowym, jeśli wiadomo, że w tramwaju mieści się co najwyżej 70 osób?
Zadanie 7
Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby:
- $2^{45},\; 3^{36},\; 4^{27},\; 5^{18}.$
- $4^{100},\; 32^{50},\; 63^{23}.$
- $32^{9},\; 16^{12},\; 63^{7},\; 18^{13}.$
- $2^{60},\; 3^{48},\; 5^{24},\; 9^{28},\; 81^{3},\; 125^{7}.$
- $2^{800},\; 5^{300},\; 8^{250},\; 9^{225}\; 16^{180}.$
- $\sqrt{5},\; \sqrt[3]{8},\; \sqrt[4]{12}.$
Zadanie 8
Oblicz:$\frac{2^{-2}+5^{0}}{(0,5)^{-2}-5\cdot(-2)^{-2}+(\frac{2}{3})^{-2}}+4,75.$
Zadanie 9
Oblicz:$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...}\cdot \left(1-\frac{1}{2000^2}\right).$
Zadanie 10
Oblicz wartość wyrażenia $(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)\cdot (x+4)$ dla $x=\frac{\sqrt{7}-5}{2}$ .
Zadanie 11
Uzasadnić, że $3^n+3^{n+1}+3^{n+2}$ jest liczbą podzielną przez 117 dla każdej liczby naturalnej $n\gt 1.$
Zadanie 12
Wyznaczyć stosunek pewnych dwóch liczb dodatnich, jeżeli wiadomo, że stosunek ich średniej geometrycznej do średniej arytmetycznej $\text{wynosi} \frac{3}{5}.$
Zadanie 13
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które można przedstawić w postaci $\frac{m\cdot n+1}{m+n},$ gdzie $m,\; n$ są liczbami naturalnymi.
Zadanie 14
Prostokąt o wymiarach $100\times 1$ został podzielony na 100 jednostkowych kwadracików. Dwóch zawodników wykonuje kolejno następujące ruchy: w każdym ruchu pierwszy zawodnik zamalowuje cztery kolejne kwadraciki, a zawodnik drugi trzy kwadraciki, przy czym nie wolno zamalować kwadracików zamalowanych. Przegrywa ten zawodnik, który nie może wykonać ruchu.
Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?
Zadanie 15
Na tablicy zapisano w jednym rzędzie w następujący sposób liczby:
Gra kończy się gdy zostaną wytarte wszystkie przecinki. Zawodnik pierwszy wygrywa, jeśli wartość otrzymanego wyrażenia jest nieparzysta, natomiast zawodnik drugi wygrywa w przeciwnym wypadku. Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?
1, 2, 3, 4, ..., 100
Kolejno dwaj zawodnicy wykonują ruchy polegające na wytarciu przecinka i wstawieniu znaku + lub -. Gra kończy się gdy zostaną wytarte wszystkie przecinki. Zawodnik pierwszy wygrywa, jeśli wartość otrzymanego wyrażenia jest nieparzysta, natomiast zawodnik drugi wygrywa w przeciwnym wypadku. Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?
Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.