LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004


Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Działania na potęgach i pierwiastkach.
2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.
Zadanie 1
Pewną pracę Piotr mógłby wykonać samodzielnie w ciągu 10 godzin. Tę samą pracę Paweł wykonałby w ciągu 15 godzin. W jakim czasie wykonaliby tę pracę gdyby pracowali razem?

Zadanie 2
Znaleźć liczbę naturalną większą od 400 i jednocześnie mniejszą od 500 i taką, że suma jej cyfr jest równa 9 oraz stanowi ona 47/36 liczby zapisanej tymi samymi cyframi co szukana liczba tylko w porządku odwrotnym.

Rozwiązanie Kamila Brożyny

Zadanie 3
Rozwiązać rebus z mnożeniem:

15 × DWA = 6 × PIĘĆ

gdzie mamy iloczyn liczb 5 i DWA oraz 6 i PIĘĆ, przy czym w liczbach DWA i PIĘĆ nie występują cyfry 1, 5 i 6.

Rozwiązanie Magdy Ekert

Zadanie 4
Oblicz:
  1.  ,

    Rozwiązanie ( 4 a ) Pawła Gierlasińskiego

  2.  .

    Rozwiązanie ( 4 b ) Mateusza Grupy


Zadanie 5
Oblicz:
  1.  ,

    Rozwiązanie ( 5 a ) Michała Kędera

  2.  ,

    Rozwiązanie ( 5 b ) Marcina Kopczyńskiego

  3.  ,

    Rozwiązanie ( 5 c ) Agaty Kozińskiej

  4. ,

  5.  ,

    Rozwiązanie ( 5 e ) Macieja Lewandowskiego

  6. .

    Rozwiązanie ( 5 f ) Maćka Szczepkowskiego



  7.  ,

  8. ,

    Rozwiązanie ( 5 h ) Magdy Nieżurawskiej

  9.  ,

    Rozwiązanie ( 5 i ) Marcina Pezdy

  10. ,

  11.  .

    Rozwiązanie ( 5 k ) Mikołaja Pszczółki

Zadanie 6
Połowa pasażerów, który wsiedli do tramwaju na przystanku początkowym zajęła miejsca siedzące. Po pierwszym przystanku liczba pasażerów zwiększyła się o 8%. Ilu pasażerów wsiadło na przystanku początkowym, jeśli wiadomo, że w tramwaju mieści się co najwyżej 70 osób?

Zadanie 7
Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby:
  1. 245, 336, 427, 518.

  2. 4100, 3250, 6323.

  3. 329, 1612, 637, 1813.

    Rozwiązanie (7 a b c ) Magdy Ryczkowskiej  

  4. 260, 348, 524, 928, 8113, 1257.

  5. 2800, 5300, 8250, 9225, 16180.

  6. Rozwiązanie (7 d e f ) Pawła Rzymyszkiewicza 

Zadanie 8
Oblicz    .

Zadanie 9
Oblicz    .
Rozwiązanie Błażeja Smułka

Zadanie 10
Oblicz wartość wyrażenia  (x + 1) × (x + 2) × (x + 3) × (x + 4)  dla  .

Rozwiązanie Pawła Sobocińskiego

Zadanie 11
Uzasadnić, że  3n + 3n+1 + 3n+2  jest liczbą podzielną przez 117 dla każdej liczby naturalnej n > 1.

Rozwiązanie Iwony Lis

Zadanie 12
Wyznaczyć stosunek pewnych dwóch liczb dodatnich, jeżeli wiadomo, że stosunek ich średniej geometrycznej do średniej arytmetycznej wynosi 3/5 .

Zadanie 13
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które można przedstawić w postaci  (m×n+1)/(m+n)  , gdzie m, n są liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie Adama Szymańskiego

Zadanie 14
Prostokąt o wymiarach 100×1 został podzielony na 100 jednostkowych kwadracików. Dwóch zawodników wykonuje kolejno następujące ruchy: w każdym ruchu pierwszy zawodnik zamalowuje cztery kolejne kwadraciki, a zawodnik drugi trzy kwadraciki, przy czym nie wolno zamalować kwadracików zamalowanych. Przegrywa ten zawodnik, który nie może wykonać ruchu. Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?

Rozwiązanie Kingi Tatara

Zadanie 15
Na tablicy zapisano w jednym rzędzie w następujący sposób liczby:

1, 2, 3, 4, ..., 100

Kolejno dwaj zawodnicy wykonują ruchy polegające na wytarciu przecinka i wstawieniu znaku + lub -. Gra kończy się gdy zostaną wytarte wszystkie przecinki. Zawodnik pierwszy wygrywa, jeśli wartość otrzymanego wyrażenia jest nieparzysta, natomiast zawodnik drugi wygrywa w przeciwnym wypadku. Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?