LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I 
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 14
Prostokąt o wymiarach 100x1 został podzielony na 100 jednakowych kwadracików. Dwóch zawodników wykonuje kolejno następujące ruchy:
w każdym ruchu pierwszy zawodnik zamalowuje cztery kolejne kwadraciki, a zawodnik drugi trzy kwadraciki, przy czym nie wolno  zamalowywać kwadracików już zamalowanych. Przegrywa ten zawodnik, który nie może wykonać ruchu. Który z zawodników może zapewnić  sobie wygraną?
 

Zawodnik 1Zawodnik 2
1 
2 
3 
4 
 5
 6
 7
8 
9 
10 
11 
 12
 13
 14
15 
16 
itd.itd.

Wygraną może sobie zapewnić zawodnik drugi zamalowujący  trzy kwadraty.
Dowód:
Zauważmy, że wykonuje on co drugi ruch,a każda liczba skreślonych  kwadratów jest podzielna przez 7.
Tak więc możnaby wyznaczyć największą liczbę podzielną przez 7, która jest mniejsza od 100.
Te wymagania spełnia liczba 98,która podzielona przez 7 daje 14. Gdy wykonamy działanie 100-98 ,to reszta wyjdzie nam 2.
Ten ruch akurat miałby wykonać zawodnik pierwszy, ale aby  go wykonać, musiałby skreślić cztery kwadraty,ale zostały  tylko dwa kwadraty więc zawodnik pierwszy przegrał.
x<100
 x-największa liczba podzielna przez 7, mniejsza od 100.
  x=98
100-98=2

Kinga Tatara